概率论题目

Question

已知某试验室日用电量（度）X~N(100,25),求 1）某日用电量超过105度的概率；2）假设每天用电量是相互独立的，求4天内每天日用电量均超过105度的概率.

Answer 1

一、解：记事件A：某人患有肝癌，
B：某人被诊断患有肝癌，则依题意有：
P(B|A)=95% ① P(B|A反) + P (B反|A)=10% ② P(A) = 0.0004 ③
因为
P(B|A)+P(B反|A)=P(全|A)=1
所以
P(B反|A)=1-0.95 =0.05
所以
P (B反|A) = P(B|A反) = 0.05
所以
P(B(A反))/P(A反)=0.05
=>P(B)/P(A反) = [P(BA)+ P(B(A反))]/P(A反)
=P(BA)/P(A反) + P(B(A反))/P(A反)
=[P(BA)/P(A)]*[P(A)/P(A反) ] + 0.05
=0.95*0.0004/0.9996 + 0.05
=>第一问所求P(B)= 0.95*0.0004+ 0.05*0.9996=0.05036
第二问所求P(A|B)=P(AB)/P(B)
=0.95*0.0004/0.05036
约=0.75%(对于这个比例我很囧，但好像是没错..)

二、图片看不到，但
1:F(负无穷（有界则为下界）)=0
F(正无穷（有界则为上界）)=1
可解出A，B
2：P(–1< X <1)=F(1)-F(-1)
3：f=F求导

三、解：
矩估计：
依题意有E（X）=λ
所以λ=(∑Xi)/n

极大似然估计：
依题意建立极大似然估计函数
L（λ）=∏[(λ^Xi * e^-λ)/Xi!]
lnL = (lnλ∑Xi -nλ)/∏Xi!
令lnL'λ=0 得
∑Xi/λ -n=0
=>λ=(∑Xi)/n
这题绝对有把握

四:图片又看不到..我就记样本均值为μ0，样本方差为S^2
解：

1.
依题意得
（μ0 -μ)n^(1/2) /σ 服从N(0,1)
(n-1)S^2/σ^2服从Χ^2(n-1)
所以
μ0 -μ （μ0 -μ)n^(1/2) /σ
-------------- = --------------------------服从t(15)
S / 4 {[(n-1)S^2/σ^2]/(n-1)]}^ 1/2

所以
μ0 -μ
-------------- 的置信度为0.95的置信区间为(-t0.025(15),t0.025(15))
S / 4
所以μ的置信度为0.95的置信区间为
( μ0 - t0.025(15)*S / 4 , μ0 + t0.025(15)*S / 4 )

2.
因为

S^2 = 1/(n-1) ∑(Xi - Xi的平均值)^2
= 1/(n-1) ∑(Xi^2 -2 * Xi * Xi的平均值 + Xi的平均值^2)
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 -2 * Xi的平均值 *∑Xi + n*Xi的平均值^2)]
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 -2 * Xi的平均值 * n * Xi的平均值+ n*Xi的平均值^2)] (注：∑Xi= n * Xi的平均值)
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 - n * Xi的平均值^2 ]

所以
E(S^2) = 1/(n-1)[ ∑E(Xi^2) - n ∑E(Xi的平均值^2)]
= 1/(n-1){ ∑[E^2(Xi)+D(Xi)] - n ∑[E^2(Xi的平均值)+D(Xi的平均值)]}
= 1/(n-1)[nμ^2+nσ^2 - n(μ^2 + σ^2 / n)
= 1/(n-1)(nσ^2 - σ^2)
= σ^2
即S^2即为总体方差的一个无偏估计量，估计值自然就为S^2（自己带数据^_^）

3.依题意得
原假设H0为μ=500，被择假设H1为μ！=500
由1知，若H0为真即μ=500则
μ0 -500
-------------- 服从t(15)
S / 4
故当显著性α=0.05时，
若
μ0 -500
-------------- 的值落入（负无穷，-t0.025(15）)∪(t0.025(15)),正无穷)
S / 4
则拒绝H0

（自己带值，我估计会落在接受域，即（-t0.025(15），t0.025(15)）
(-2.131，+2.131),也就是 500-0.53275* S<μ0<500+0.53275* S)

会做这些题的估计都有那个表，那张图片推荐用来写重要参数，100分咧，还是注意一点好

Answer 2

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