关于偏导数连续的问题

Question

f(x,y)=(y*绝对值x)/根号(x^2+y^2) 当(x,y)不等于(0,0)
=0 当(x,y)不等于(0,0)

请问为啥这个分段函数的偏导数是不连续的？怎么考虑出来的？在哪一点是不连续的！
谢谢！

Answer 1

f(x,y)=
xy/√(x^2+y^2) (x>0)
-xy/√(x^2+y^2) (x<0)
0 (x=0且y=0)
对x求偏导，得fx(x,y)=
y^3/(x^2+y^2)^(3/2) (x>0)
-y^3/(x^2+y^2)^(3/2) (x<0)
在x=0时偏导是多少呢，把这两个偏导数分别取x=0处的极限，可以得到
从f(x,y)在x=0处关于x的导数左极限是-1，右极限是1，故在x=0处极限不存在即不存在偏导数，这里请注意是在y不为0的情况下.
特别地，当y=0时，方程f(x,y)=0，此时x的偏导数连续即恒为0.
对于y，固定了x，这个函数是连续函数，故偏导数连续.

Answer 2

高数啊
好久没看偏导数啊
温习下