高数，微积分。不可导的点问题。①为什么要考虑绝对值里面等于0的情况？②既然-4使得分母没有意义所以

Question

高数，微积分。不可导的点问题。①为什么要考虑绝对值里面等于0的情况？②既然-4使得分母没有意义所以不可导，为什么1可以呢？

Answer 1

①使得绝对值里面=0的点是函数的分段点，
例如 y=|x|有分段点x=0，本题也是这样，
只要打开绝对值符号，就会出现x=±1是分段函数的分段点，
而分段点是有可能成为不可导点的，故需考虑。
②-4和1处的疑问是这样理解，
注意本题的f(x)中，除³√…之外，还有|xx-1|★
而★在1这一点有作为，在-4处无作为，是然。
③一般来说，有两点，
一是，
用公式求导后，点(例如1，-4)代不进去，不能下结论说不可导。
二是，
打开绝对值符号，用导数的定义考察是否可导，是基本方法。追问

②里还不太懂，什么是有作为什么是无作为？-4不可导不是因为它使分母=0嘛？那1不也是嘛？化简前和化简后有什么区别？

追答

应该从f(x)的定义，也就是f(x)=|xx-1|³√…出发，而不是仅仅从其中的³√…出发。

追问

那1呢？是不是前面可导这边就不用管了？

追答

是。

Answer 2

1、因为对于 函数 y=|x| 而言，其在x=0处连续但不可导。书本有此例题
所以碰到绝对值部分，一般都需要如此单独讨论零点处的连续性和可导性。
都需要根据定义判断，是否可导。

2、经过讨论确认，可以知道 x=1不光使得绝对值=0，同时也满足了根式=0.
根据定义，可以确认函数在 x=1可导。
所以这里表明，在某点处，不可导函数与可导函数的乘积有可能是可导的。

希望对你有帮助，谢谢追问

②里还不太懂，-4不可导不是因为它使分母=0嘛？那1不也是嘛？化简前和化简后有什么区别？

追答

个人认为若判断函数在x=-4处是否可导应通过定义求解得出，而不应像答案中直接求导后将 x=-4带入直接得出结论。
应该判断下述极限值是否存在。
x->0时，lim[ f(-4+x)-f(-4) ]/x=lim|x²-8x+15| 【x(x-5)】^(1/3) /x

=15*lim【(x-5)/x²】^(1/3)
=15*lim【-5/x²】^(1/3)
当x->0时，显然极限不存在。

追问

那1呢？是不是前面可导这边就不用管了？

追答

是的，考虑x=-4处的可导性，此时讨论的范围是局限在-4点的一个小邻域内进行的；无需再考虑x=1处的函数状态。
反正是只要涉及到函数连续性或者可导性的讨论，一定要使用定义考察。
否则很容易出错，得出相反结论。

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