设数列〔an〕满足a1=1，a2=5/3(5分之3），an+2=5/3an+1－2/3an,

Question

我知道可以直接写成等比的模式
可是如果这样设是怎么设出来的，这样设的好处是什么呢
设a(n+2)(角标）-αa(n+1)=β（a(n+1)-αan)，为什么后边an还要乘α？

Answer 1

a(n+2)=(5/3)a(n+1)+(2/3)an ???????????
a(n+2) - 2a(n+1) = -(1/3)( a(n+1) - 2an)

{a(n+1) - 2an } 是等比数列, q= -1/3
a(n+1) - 2an = (-1/3)^(n-2). (a2 - 2a1)
=(-1/3)^(n-1)
a(n+1) -(7/9)(-1/3)^(n+1) = 2[an -(7/9)(-1/3)^n ]
{an -(7/9)(-1/3)^n} 是等比数列, q=2
an -(7/9)(-1/3)^n = 2^(n-1) . [a1 -(7/9)(-1/3)^1]
=(17/27).2^n
an =(7/9)(-1/3)^n +(17/27).2^n