高中数学必修4-5：若3x+4y=2,求x2+y2的最小值，求大神怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

yuzhoulieren回答的是正确的，我就不重复了。只说下mm123456482为什么是错的，mm123456482的解答中使用了两次基本不等式，第一次基本不等式的取等条件是3x=4y,第二次基本不等式的取等条件是x=y，两个取等条件无法同时成立，所以最小值也就错了。这道题利用点到直线距离的几何意义来求解为正解。追问

是否能用柯西不等式来解答，如果能，如何解？毕竟这是出在基本不等式这一节的题。

追答

哦，你们学过柯西不等式了？那好办了，还以为你们没学过。

由柯西不等式
(3^2+4^2)(x^2+y^2)>=(3x+4y)^2
故x^2+y^2>=4/25
当3y=4x取等。

Answer 2

若3x+4y=2,求x2+y2的最小值
在直线上任取一点P(x,y),则p到原点的距离为√x2+y2
即x2+y2可以看成直线上的点到原点的距离的平方
所以过原点向直线作垂线距离最短，也就是x2+y2的值最小
根据面积可求得原点到直线的距离为2/5
即可知x2+y2的最小值为4/25追问

是否可以用不等式的方法来解？

追答

可以啊，就是比较麻烦，
用x表示y再带到x2+y2中，然后再求

Answer 3

解析
3x+4y≥2√12xy=4√3xy=2
所以
√3xy=1/2
3xy=1/4
xy=1/12

x²+y²≥2xy=2x1/12=1/6

希望对你有帮助
学习进步O(∩_∩)O谢谢