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可逆矩阵与初等矩阵的关系
矩阵乘上一个
可逆矩阵
是不是秩不变?
答:
一个矩阵乘上一个
可逆矩阵
不改变它的秩是因为
初等矩阵的
乘积而初等变换不改变矩阵的秩所以,用可逆矩阵A乘一矩阵B,相当于对B作一系列的初等行变换所以AB的秩不变,仍是B的秩。推导过程:r(AB)≤r(B)比如A可逆,所以:r(AB)≤r(B)。r(B)=r(A的逆·AB)。≤r(AB)。∴r(AB)=r(B)。...
可逆矩阵
经过一系列
初等行变换
可化为单位矩阵是怎么证明的?
答:
假设A可逆,那么有AB=E其中B为A的逆矩阵,且B为右乘,也就是对A进行列变换。初等变换不改变
矩阵的
秩,可逆矩阵经过有限次的初等行列变换,可得到单位矩阵,矛盾吗: 例如,这个问题可以这样认为 一次
初等变换可逆矩阵
必须仍然可逆的,数量有限的初等变换。所有
初等行变换
,等价于用一个
初等矩阵
左乘该矩阵...
如何判断是
可逆矩阵
还是
初等矩阵
?
答:
因为I-AB
可逆
,所以(I-AB)(I-AB)^(-1)=I 即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B (I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B (I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA (I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I (I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I 故I-BA...
方阵A
可逆的
充分必要条件是A可以表示为若干个
初等矩阵的
乘积?
答:
需要分情况,若n阶方阵a可以表示为n个
初等矩阵的
乘积,则a
可逆矩阵
。矩阵A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位阵,则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或
非奇异矩阵
,且其逆矩阵唯一。
如何用
初等变换
判定
矩阵
是否
可逆
答:
000100-1/21/2第1行分别加上第2行,第3行和第4行~10001/2001/2 0100-1/21/200 00100-1/21/20 000100-1/21/2 这样就已经通过
初等行变换
把(A,E)~(E,A^-1),于是得到了原
矩阵的逆矩阵
就是 1/2001/2 -1/21/200 0-1/21/20 00-1/21/2。
A与
可逆矩阵
相乘不改变秩的证明
答:
两种方法 1. 利用初等变换不改变矩阵的秩 因为
可逆矩阵
可以表示为
初等矩阵的
乘积 而A乘初等矩阵相当于对A作初等变换 所以A的秩不变 -- 这个方法包括了可逆矩阵左乘A,右乘A,或是左右同时乘A 2. 利用 r(AB)<= min{r(A),r(B)} 一方面有 r(PA) <= r(A)另一方面 r(A) = r(P^-1PA...
矩阵
A
可逆
能推出什么? 比如a可逆则|a|不等于0之类的
答:
可以推出的结论有:1、A为满秩矩阵(即r(A)=n);2、A的特征值全不为0;3、A的行列式|A|≠0,也可表述为A不是奇异矩阵(即行列式为0的矩阵);4、A等价于n阶单位矩阵;5、A可表示成
初等矩阵的
乘积;6、齐次线性方程组AX=0 仅有零解;7、非齐次线性方程组AX=b 有唯一解;8、A的行(...
初等矩阵的逆矩阵
是它的本身吗?
答:
初等矩阵的逆矩阵
不是本身。初等矩阵有三类变换,分别是:行列互换型,倍加型和数乘型,其中行列互换型的逆矩阵是其自身;倍加型的逆矩阵是把倍数取相反数做相同变换;数乘型的逆矩阵就是把k取倒数做相同变换。★初等矩阵 初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个...
可逆矩阵
进行有限的
初等变换
,变换后的矩阵是否也是可逆矩阵?
答:
这个问题可以这么考虑 只要进行一次
初等变换
后,
可逆矩阵
必定仍然可逆,那么有限次初等变换当然还是可逆的 比如说进行一次
初等行变换
那么无论你进行3种变换中的哪一种(交换两行、某一行乘个非零数,或者乘个数再加到另一行),很容易验证变换之后的
矩阵的
各行必定仍然是线性无关的.所以,还是可逆的.
为什么交换行(列)的
初等矩阵的逆
就是本身
答:
初等变换
求逆矩阵原理是这样的:
初等行变换
相当于矩阵左乘一个可逆阵;
初等列变换
相当于矩阵右乘一个
可逆矩阵
。求A的逆,就是求B,使得AB=BA=E。从BA=E看就是对A进行初等行变换(注意,A右边没有矩阵,不能列变换),从AB=E看就是对A进行初等列变换(注意,A左边没有矩阵,不能行变换)。所以用...
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