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正定矩阵的开方
什么是
正定矩阵的
-1/2方?
答:
假设A为
正定矩阵
,则存在正交矩阵Q和对角矩阵D,使得(Q^T)AQ=D,也即A=QD(Q^T)。因为A为正定矩阵,其特征值全部为正数,因此D的主对角元素都是正数,因此可以定义D的1/2,即将D的主对角元全部
开方
,所得对角矩阵记为F,F即为D的1/2,注意F为对角矩阵,因此也是对称矩阵,且D=F*F。此时,...
矩阵
平方和
开方
如何运算
答:
开方
就比较麻烦了,理论上讲肯定不是单值的,一般来讲我们只对Hermite半
正定矩阵
定义算术根:若A是Hermite半正定阵,其谱分解为A=Q*D*Q',其中Q是酉阵,D是对角阵,Q'是Q的转置共轭,那么A^(1/k)定义成Q*D^(1/k)*Q',D^(1/k)就是对D的每个对角元(是非负实数)取k次算术根。注:一...
椭球方程的
矩阵
形式
答:
如果 是一个实对称
正定矩阵
,那么可以对角化分解为 ,其中 的正交矩阵( ),其列向量是 的特征向量,而 则是由对应特征值组成的对角矩阵 。因为是正定矩阵,因此对角
阵的
对角线元素必然是正值。于是我们可以定义
的开方
为 其中 。这样的定义是合理的,因为 此外定义 其中 容易验...
线性代数,证明
矩阵的
合同关系。
答:
A'A=A'EA,证毕。
正定
,请见 goaha 先生的证明。合同于对角阵,在复数系内研究,肯定就合同于单位阵啦,不过由于涉及到负数
开平方
的问题,在实数范围就不一定了。下面为方便故,用W代表对角阵,对它的各元素
开方
得到的对角阵记成V,即W=V*V或记成VV,另外注意V=V',此处撇号'表示转置。AWA'...
平方根法怎么化简?
答:
平方根法:A = L * L',L是一个下三角矩阵(对角线上的元素添加L的正的平方根)改进法:A = LDL'L对角线的元素下三角矩阵?的一种改进,因为它避免了计算的根源。的意思??L'是转L,A =LDLт解决方案的对称
正定
解
矩阵的
乘法,它提高了A = LL'??平方根化简的方法:①如果平方根的被
开方
数...
解对称方程组的平方根法和改进的平方根法
答:
用平方根法求解对称正定方程组,在计算矩阵L的对角元素lkk(k=1,2,…,n)时需要进行n次
开方
运算。为了避免开方运算,可以直接采用对称
正定矩阵的
A=LDLT分解对平方根法进行改进,这时L是单位下三角矩阵,D是非奇异对角矩阵。因而,解方程组Ax=b可按如下步骤进行:(1)把系数矩阵A分解成A=LDLT...
这个
矩阵的
2范数如何求,谁给看看
答:
解出特征值λ 再计算出最大特征值的算术平方根,就是 这个
矩阵
A的2范数,也即谱范数
证明实二次型f=x∧ΤAx为
正定的
充分必要条件是:存在可逆
矩阵
U,使A=U...
答:
存在可逆矩阵U,使A=U∧ΤU,A与单位矩阵合同,所以A正定;再证明必要性:由于 A是
正定矩阵
,一定可以表示成 一个可逆
矩阵的
转置和A的特征值 和 可逆矩阵的乘积的形式,因为A正定,A的特征值都大于零,所以可
开平方
,把A表示成对角线是它的特征值
开方
的乘积的形式,令前面两个矩阵为U 即可。
...或者用Gauss消去法构造Cholesky分解A=LL^T(L是下三角
矩阵
...
答:
对于必要性,首先对称阵必定合同于对角阵,即A=CDC',如果A正定,那么根据惯性定理D的对角元都是正的,把D
开方
合并到C里面就行了,A=(CD^{1/2})(CD^{1/2})'。所谓的Cholesky分解,就是说
正定矩阵
有分解式A=LL',其中L是对角元为正数的下三角阵,而且这一分解是唯一的。这里不需要用到唯一...
矩阵的
分数次幂
答:
Hermite)半
正定矩阵
,此时存在唯一的对称半正定矩阵B使得B^2=A,这个用谱分解定理很容易证明。如果是一般的矩阵就要复杂得多,可以通过Jordan标准型来定义矩阵函数,但是分数次幂需要额外指定单值支,比如刚才的定义里面规定了
开方
之后仍然保持半正定性,否则结果就不唯一了。
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