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不动点迭代法收敛性定理
6.2
不动点迭代法
及其
收敛定理
答:
第6章方程与方程组的迭代解法§6.2
不动点迭代法
及其
收敛定理
一、迭代法原理将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程x(x)并且假设(x)为连续函数---(2)任取一个初值0,代入(2)的右端,得xx1(x0)继续x2(x1)---(3)xk1(xk)(k0,1,2,)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法称(x)为...
(四)
不动点定理
(Fixed Point Theorem)
答:
在探索非线性方程
的
解域时,
迭代法
如Picard方法为我们提供了钥匙。但其背后,隐藏着一个更为深刻的概念——
不动点
问题。一个核心的定义是:对于一个变换 T:,如果存在 x* 使得 T(x*) = x*,那么 x* 就是 T 的固定点。这个理念在Banach
不动点定理
中达到了巅峰:在完备空间的...
非线性方程求解:
不动点迭代
(Fixed-point iteration)
答:
证明唯一性:如果存在两个不动点x1和x2,拉格朗日中值
定理
揭示了矛盾,保证唯一性。
收敛性
分析不动点迭代的数列{xn}的收敛速度是关键。利用定义中的条件,我们可以得出,当xn+1 - xn ≤ (1 - ε)|xn - xn-1|时,数列的收敛速度是线性的。总结归纳,
不动点迭代法
通过严谨的理论基础和直观的几...
数值分析试题参考解答(三)
答:
由题设,δa/a = δb/b,因此δS/S ≈ 2 * (δa/a)二、方程的
收敛性
与实根求解对于方程 ,我们证明其迭代格式 的收敛性:构造函数 ,则 ,根据
不动点迭代收敛定理
,当迭代格式满足条件时,序列 收敛于方程的根。应用
迭代法
求解,初始值为 ,得到的根为 约等于 。三、线性方程组求解用列主...
使用在
不动点的
泰勒公式,证明牛顿
迭代法收敛定理
。
答:
|xn-x0|单调减.在根x0附近,有f(x)=f'(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2),f(xn)/f'(xn)=O(xn-x0)
数列
收敛性
极限
不动点
函数项级数
答:
利用参考文献中
的定理
一[1]:已知xn=f(x(n-1)),n是正整数,0<x1<1,xn>0,limxn=0,f(x)>x/(1+x),那么级数Σxn发散。具体的证明过程见参考文献[1]。由于这里的Bn必定单调递减,且
收敛
于0,因此可以不考虑定理中“0<xn<1”的限制。此时只要满足ln(1+x)>x/(1+x)即可。两边求导数,...
schauder
不动点定理
答:
Schauder不动点
定理
是数学理论的一大里程碑,在各个学科领域都有重要的作用,如控制论、多元函数论等均依赖它。设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0,然后把方程组改为便于迭代的等价形式x=ψ(x),由此就可以构造出
不动点迭代法的
迭代公式为xk+1=ψ(xk),如果得到的序列{xk}满足lim(...
如何证明牛顿
迭代
公式的
收敛性
?
答:
牛顿
迭代
公式是一种求解非线性方程的常用方法,其
收敛性
可以通过以下两种方式证明:利用
收敛定理
证明 牛顿迭代公式的收敛性可以通过收敛定理来证明。其中,最常用的是
不动点定理
和收敛阶定理。不动点定理:如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)∈[a,b],那么方程f(x)=x在[a,b]上至少有...
不动点定理的
应用:积分方程和微分方程
答:
这样只要证明积分方程有解,那微分方程自然有解。而且可以进行迭代求解,这种
迭代法
的
收敛性
由一个
定理
给出。自然,对于这种微分方程也是有条件限制的。这就与微分方程的适定性理论联系起来了。著名的皮卡定理。巴拿赫
不动点
,核心就是一个压缩映射,因为巴拿赫空间一般是满足的,常用的就是闭区间上的连续...
迭代法
|Ψ'(x)|<1时,越小
收敛
速度越快,为什
答:
设 X=Ψ(X) 为
不动点
(根)则 x(n+1)-X=∆X=Ψ'(X)*∆X=Ψ'(X)*(xn-X)(x(n+1)-X)/(xn-X)=Ψ'(X)所以,Ψ'(X)越小,x(n+1)越接近X,
收敛
速度越快。
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