一致连续

Question

求证
f(x)=x/(1+(xsinx)^2)在[0,+oo)上不一致连续
不要求导做！想知道最基础的证明

即想知道怎么找到两个数列Sn和Tn有
|Sn-Tn|<1/n但是|f(Sn)-f(Tn)|>k k为某固定的正实数

Answer 1

一、区别如下：

1、范围不同

连续是局部性质,一般只对单点，而一致连续是整体性质，要对定义域上的某个子集。

2、连续性不同

一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性，而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。

3、图像区别

闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0，1）上连续的函数y=1/x。

二、举例印证:

函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

分析：可以取区间中两个数，s=n，t=n+1/2n，此时，t-s=1/2n1。

这就是说它们的函数值不能无限接近，根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

扩展资料：

一致连续函数的性质

1）设函数  在区间  和  上一致连续，若  ，则  在  上也一致连续；

2）若函数  都在区间I上一致连续，则  也在区间I上一致连续；

3）若  在有限区间I上一致连续，则  在I上有界；

4）若函数  都在有限区间I上的有界的一致连续函数，则  在区间I上也一致连续；

5）若  在定义域I上一致连续，其值域为U，  在U上一致连续，则  在I上一致连续。

Answer 2

首先根据一致连续的定义，知道不一致连续的定义：
设函数f(x)在区间I有定义，若对任意δ>0，存在ε>0,使得对任意x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|>ε，则称f(x)在区间I上一致连续。

对应到这道题来说，就是找两个点列xn'和xn''，在n->∞时，满足|xn'-xn''|<δ（δ任意小），有|f(xn')-f(xn'')|>ε(ε是某一常数)。

剩下的就是构造点列了。

令xn'=2nπ，xn''=2nπ+1/n，
此时|xn'-xn''|=1/n->0 （n->∞）
而|f(xn')-f(xn'')|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5 (n->∞)
(中间过程略一下，都是演算，不过中间还是要用洛必达法则求一下极限)
取n>5ε/8π,则|f(xn')-f(xn'')|>ε

补充：“Sn-Tn|<1/n”
这个其实不一定这么死，关键是找出合适的δ，只要δ可以任意小即可，这时|f(xn')-f(xn'')|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5>π,若令ε=π，这就找出了ε。本回答被提问者采纳

Answer 3

f(x)=x/(1+(xsinx)^2)
取Sn=n∏，Tn= n∏+1/2n，|Sn-Tn|=1/2n<1/n
f(Sn)=n∏
f(Tn)=( n∏+1/2n)/{1+((n∏+1/2n)sin[1/2n])^2}
Lim(n→∞)f(Sn)=∞
Lim(n→∞)f(Tn)
= Lim(n→∞) (n∏+1/2n)/{1+((n∏+1/2n)*(1/2n))^2}
= Lim(n→∞) n∏/(1+(∏^2/4))
Lim(n→∞)|f(Sn)-f(Tn)|= Lim(n→∞)n∏^3/(∏^2+4)=∞

所以f(x)在[0，∞]不一致连续。

Answer 4

f在[0,+oo)上一致连续的定义是：
只要|x1-x2|足够小，那么|f(x1)-f(x2)|就足够小

证明它不一致连续，那么只要举一个反例就可以了

也就是说找到一组x1,x2，而且|x1-x2|足够小，但是|f(x1)-f(x2)|>1就可以了

Answer 5

这个，嗯，那什么的，俺的数学老师因该晓得