微积分证明题

求详细过程

推荐答案 2008-11-14

证明
显然，
K(a)=∫（a，b）1/f(t)dt
=-∫（b，a）1/f(t)dt
a，b分别为下限，上限
K(b)=∫（b，a）f(t)dt
a，b分别为下限，上限
则
K(a)*K(b)
=-∫（b，a）1/f(t)*f(t)dt
=-∫（b，a）1dt
=a-b
因为a<b，则a-b<0
则K(a)*K(b)<0
所以由介值定理得在（a，b）上至少有一根

而dK(x）/dx=f(x)+1/f(x)
因为f(x)>0
显然由重要不等式得：
dK(x）/dx=f(x)+1/f(x)>=2根号下[f(x)*1/f(x)]=2
则dK(x）/dx>0
则可知K(x）在（a，b）为单调递增函数

综合以上：
K(x）在（a，b）上至少有一根，且又因为单调递增函数。
所以可知K(x）在（a，b）上有且仅有一根

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其他回答

第1个回答 2008-11-14

答案如图：(手写版)
http://hi.baidu.com/jsjzhsh/album/item/02b6736e7e7416c680cb4a54.html

第2个回答 2008-11-14

证明:
由题意得，对k(x)求倒得，k(x)'=f(x)+1/f(x），
又因为f(x)>0,则k(x)'>0,即k(x)单调递增，对原式带入a,有k(x)从b到a的积分，可知k(x)<0,又带入b，显然有k(x)>0,
则k(x)=0的点在（a，b)内只有一个.
命题得证.

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