数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某

Question

数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。 如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：（1）AC·BC=AB·CD；（2）AC 2 =AD·AB。 图1 图2 （1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x 2 -14x+48=0的两个根，求AD、MD的长；（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d，且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1）。

Answer 1

解：（1）显然，方程x 2 -14x+48=0的两根为6和8， 又AC>BC， ∴AC=8，BC=6， 由勾股定理AB=10， △ACD∽△ABC，得AC 2 =AD·AB ∴AD=6.4， ∵CM平分∠ACB， ∴AM：MB=AC：CB 解得，AM= ∴MD=AD-AM= ； （2）不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c， 由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC 2AB·CD=2AC·BC， 又勾股定理，得AB 2 =AC 2 +BC 2 ， ∴AB 2 +2AB·CD=AC 2 +BC 2 +2AC·BC（等式性质） ∴AB 2 +2AB·CD =（AC+BC） 2 ∴AB 2 +2AB·CD+CD 2 >（AC+BC） 2 ∴（AB+CD） 2 >（AC+BC） 2 又AB、CD、AC、BC均大于零 ∴AB+CD>AC+BC 即a+d>b+c。