应用Gibbs抽样需要获得未知点处条件概率,条件概率估计有很多种方法,以Snesim方法为例,其概率估计来源于一次克里金方程组。
多点地质统计学原理、方法及应用
式中:D代表一个特定数据事件。如果D包含的数据规模为1,则为两点统计范畴。如果D大于2,构成了多点统计范畴。但在实际应用中,构成数据事件重复数少,往往会删除节点以保证重复数。这样导致用于概率估计的数据事件D所包含的数据节点少,难以反映储层结构特征。而按照传统的条件概率估计方法,如贝叶斯条件概率估计,对于一个周围包含16个节点的条件概率估计(图7-3),其后验概率计算次数最多为261>65000次。
图7-3 待估点周围16个节点的分布
如何减少概率估计方程个数,同时不删除数据节点,最大限度地保证储层结构得到反映就成为需要解决的一个重要问题。考虑到Gibbs抽样可以直接从边缘联合分布概率中求得,考虑将数据样板进行劈分,较小规模的数据样板得以获得更多的重复数,同时有限的数据样板构成的几个克里金方程组,易于求解。对于图7-3数据样板,将其分为4个子样板(图7-4)。每个子样板最多构成24=16种类型。而4个子样板联合分布可以很自然地用下面克里金方程组描述
图7-4 数据样板劈分结果
多点地质统计学原理、方法及应用
式中:k代表当前待估点属于相k的概率; 是每个子样板的权系数; 则是每个子样:k板构成的数据事件。 是指示值,表示此处子样板构成数据事件是否存在。 为每个子样板数据事件的均值。p(k)为相k的边缘概率。 的确定与传统克里金方程组求解类似,通过方差最小来确定:
多点地质统计学原理、方法及应用
由于 为多点数据事件,因而它们实质上构成了多点协方差,其定义为
多点地质统计学原理、方法及应用
此协方差通过扫描训练图像获得。
考虑到 仅与位置有关,而与周围数据事件“没有”关系。因此可以对训练图像进行全扫描,采用特征值分解以及最小方差和最小权系数方式确定最优权重值。最优权重值方程组为
多点地质统计学原理、方法及应用
对于任一待估点,其估计条件概率为
多点地质统计学原理、方法及应用
对于条件概率估计出现的小于0的情况,直接将其赋值为0。而为了使得模拟的相比例与边缘概率一致,采用“伺服校正”方法进行校正:
多点地质统计学原理、方法及应用
式中:μ取值在(0~1)之间。p(k)为边缘概率,pC(k)为当前模拟的条件概率。
类似的,噪音因子用于进一步校正模拟概率
多点地质统计学原理、方法及应用
如果p′(k)满足上述条件,则将出现相k的概率设置为0。
训练图像概率与边缘概率之间的差别也需要校正,采用贝叶斯方法:
多点地质统计学原理、方法及应用
式中:p′(k)是经过伺服校正和噪音校正后的概率;pG(k)是边缘概率;pTI(k)是训练图像中的概率。
其他一些约束条件也可以很方便地通过贝叶斯方法进行综合,如地震概率、垂向相比例等。这里不再赘述。