A的行列式|A|=0,证明：A的伴随矩阵的行列式|A*|也等于0

Question

如题所述

Answer 1

证明：用反证法。

假设 |A*|≠0，则A*可逆。

又已知 |A|=0，那么AA*=|A|E=0。

等式两边右乘A*的逆矩阵，

可得 A=0。

所以A*=0。则|A*|=0。

而|A*|=0与假设的|A*|≠0矛盾。

所以假设不成立。

故当|A|=0时，|A*|=0。

扩展资料：

对于一个n阶矩阵A，那么其逆矩阵为A-1，而伴随矩阵为A*。那么逆矩阵与伴随矩阵具有如下的性质。

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、因为A*A-1=E，所以|A|*|A-1|=|E|=1。

4、矩阵A与伴随矩阵A*的乘积：A*A=AA*=|A|E。

5、伴随矩阵与逆矩阵之间关系：A-1=A*/|A|。

参考资料来源：百度百科-矩阵

Answer 2

AA*=|A|E，然后就很容易了追答

不好意思，我发现我想错了。。。。

我再想想

假设|A*|≠0
由A*可逆
AA* = |A|E = 0
两边右乘(A*)^-1
A = 0 (注意A的所有元素都为0)
按照A*定义，容易知道A* = 0
矛盾。所以
|A*|＝0

假设|A*|≠0
由A*可逆
AA* = |A|E
两边右乘(A*)^-1
A = 0 (注意A的所有元素都为0)
按照A*定义，容易知道A* = 0
矛盾。所以
|A*|＝0

刚才又多打了。。。😂

无所谓了

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