欢迎来到深入探索傅里叶变换的第二篇章，我们将聚焦于傅里叶级数这一核心概念。首先，让我们揭开它的神秘面纱。
法国数学家傅里叶的天才发现开启了信号分析的新纪元。他揭示了一个革命性的理念：任何连续周期信号，只要满足狄利克雷条件——绝对可积、极值点和间断点有限，都可以被分解为一组正弦和余弦函数的和谐组合。这不仅是一个理论突破，它为我们理解复杂信号提供了全新的视角。
大多数我们日常接触的周期信号都符合这些条件，因此，傅里叶级数几乎成为它们表达的通用语言。现在，让我们以线性代数的视角来审视这个概念。在N维空间中，周期信号就像向量，正余弦函数集则是构成空间的正交基。傅里叶级数系数就是这些信号在基下的坐标，即其在正弦和余弦波上的特定成分。
深入理解傅里叶级数的关键在于理解其本质：它并非简单的频域变换，而是时域信号的分解。虽然我们熟悉的傅里叶变换通常涉及频域，但级数的表达式明确显示，它是在时域内进行的信号分解。级数系数中蕴含着信号在各个频率分量的幅度和相位信息，尽管我们仍处于时域视角，但频域信息已悄然隐藏其中。
在连续与离散时间周期信号之间，傅里叶级数有显著的差异：连续时间级数是无限项级数，而离散时间级数则为有限项。这揭示了两种信号在谐波构成上的区别：连续时间信号有无数个不同频率的谐波，而离散信号则受限于采样点数。
傅里叶级数的应用广泛，它不仅是傅里叶变换的基础，而且在滤波和系统分析中发挥着关键作用。对于解题者来说，一个关键洞察是：通过线性时不变系统的处理，信号的傅里叶系数会被每个频率点上的系统响应值所影响。这意味着，掌握这一点能有效帮助我们解决考研中涉及的复杂问题。