函数，这个微积分的基石，我们从一元开始，一步步揭开它的神秘面纱。对许多人来说，函数可能仅仅是个概念，如初等函数——三角函数、幂函数、指数函数等，它们通过简单的代入求解，但要真正理解，还需要触及更深的内涵，包括定义域的考量，这些看似记忆性的技巧，实则关乎理解的深度。
那么，函数是如何诞生的呢？这就需要引入映射的概念。想象两个非空集合A和B，通过映射法则f，A中的每个元素a与B中的唯一元素b建立连接，这就是f:A→B的映射。映射的核心在于，元素间的对应关系通过解析式清晰地表达，即由运算符号和括号编织的规则式子，它们是连接元素世界的桥梁。
深入理解，单射、满射和双射为我们揭示了函数的多样面貌：单射确保每个x对应唯一的y，满射则保证每个y都有对应的x，而双射则同时满足两者，即我们熟知的函数映射。实际上，映射的直观理解是，X集合中的每个x与Y集合中的特定y形成一对一的关系，满足单射；而Y集合的每个y可能对应多个x，这是通过一对多的映射实现的，这正是双射的精髓。
函数并非孤立存在，它们有独特的性质，比如有界性，它限制了函数值域的范围，上界和下界为函数设定了边界。当函数y=f(x)，定义域为D，且满足- M≤f(x)≤M，x∈D，我们称它为有界的。上界和下界的确定，使得函数的取值受限于这两个极限值之间。
接下来，我们转向逆映射和反函数。反函数是原函数的逆映射，以y=f(x)为例，逆映射g:Y→X，使得g(y)=x。有时，反函数的定义域和值域与原函数的值域和定义域互换，反三角函数如反正弦、反正切等，就是这种反函数的实际应用。
通过反三角函数，我们可以直观地理解反函数与原函数的关系，如y=sinx，其反函数x=arcsiny，这表明两者图象关于y=x轴对称，为理解函数世界提供了关键的视觉工具。
复合映射和复合函数是函数世界中的又一重要概念，由两个映射g和f复合而成，即z=f(g(x))，其中g的值域需包含在f的定义域内，构成了新的映射ƒ▫g，它揭示了函数间的相互作用和层次结构。
最后，我们不能忽视的是取整函数，它将实数x的整数部分提取出来，如f(x)=⌊x⌋。函数的运算需要满足定义域的交集非空，例如h(x)=f(x)+g(x)，这保证了运算的可行性。
一元函数的世界深邃且丰富，希望这段探索能启发你对函数的深层理解。如果你有任何疑问或发现任何遗漏，欢迎随时提问，感谢你的专注阅读与探索。