理解二阶差分的含义
当自变量从x变到x+1时，函数y=y(x)一阶差分的差分
Δ(Δy(x))=Δ(y(x+1) - y(x))=Δy(x+1) - Δy(x)
=(y(x+2) - y(x+1)) - (y(x+1) - y(x))
=y(x+2) - 2y(x+1) + y(x)
称为二阶差分。
注意这的几个因变量对应的自变量之间均分别相差1
其实这里应该先了解一阶差分的概念由于比较简单这里不多赘述
2.理解一阶微分的含义
如果我们把自变量之间的间距表示为△x=(x-x0)
当x无限趋近于x0时
lim(x->x0)△x=dx
这里的dx就是一阶微分的通常表达形式
3.理解二阶微分的含义
当我们把二阶差分里的间距从1缩小到dx时就形成了二阶微分
即
lim(△x->0) f(x+△x)-f(x)-(f(x)-f(x-△x))
=lim(△x->0) f(x+△x)-2f(x)+f(x-△x)
一阶微分通常记作df(x)
对于二阶微分通常记作d^2f(x)
注意：因为接下来讨论的导数必须涉及所求点的函数值所以这里把中间点定为f(x)
4.熟记一阶导数定义
5.熟记二阶导数的定义
6.推导二阶导数的微分形式
f''(x)
=lim(△x->0) f'(x0+△x)-f'(x0)/△x 先写定义式
=lim(△x->0) ((f(x0+△x)-f(x0)/△x)-(f(x0)-f(x0-△x))/△x)/△x 把式中一阶导数替换为定义形式
=lim(△x->0) (f(x0+△x)-2f(x0)+f(x0-△x))/△x^2 整理
不难看出式中的分子就是f(x)的二阶微分而分母就是x一阶微分的平方
由前面的 2 和 3 可得分子分母分别可以表示为d^2f(x)和dx^2
因此下式成立
f''(x)=d^2f(x)/dx^2