N的最大值是9867312。
解：因为N是一个各位数字互不相等的自然数。。
即N这个数可能是有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这几个数中的数字组成。且它能被它的每个数字整除。
那么N这个数字中不能含有0，因为0不能作除数。
由于N中没有0，那么5和偶数（2，3，6，8）不能同时存在。所以N中没有5。
则N这个数字可以由含有1，2，3，4，6，7，8，9这些数字中的数字组成。
又因为1+2+3+4+6+7+8+9=40，那么1，2，3，4，6，7，8，9这8个数字组成的数不能被9整除。
那么要使N能被9整除，且保证N最大，那么就去掉数字4。则N由1，2，3，6，7，8，9组成。
要使N能被7整除，则N这个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。且N要被8整除。那么最后一位必须要为偶数。那么最后一位只能为2、4、6、8中的一位。
所以这个数字只能是N=9867312。
若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数 [1] 为零， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。
能被2整除的数的特征
若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
能被3整除的数的特征
若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111令3整除。
能被9整除的数的特征
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
能被7整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
以上内容参考：百度百科-整除