解题：高中数学（充分条件与必要条件）

Question

设a，b，c为△ABC的三边，其中对角分别为A,B,C.

求证：方程x^+2ax+b^=0与x^+2cx-b^=0有公共根的充要条件是∠A=90°

Answer 1

证明：
先证必要性：若两方程公共根x,则x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx-b^2=0，两方程左右两边相加得2x^2+2x(a+c)=0，显然x不等于0，所以x=-(a+c)，所以x(x+2a)+b^2=0，所以-(a+c)(a-c)+b^2=0，所以b^2=a^2-c^2，所以∠A＝90度
再证充分性，若∠A＝90度，则b^2=a^2-c^2
所以当x=-(a+c)时,x(x+2c)=-(a+c)(c-a)=-(c^2-a^2)=b^2，即x=-(a+c)是方程x^2+2cx-b^2=0的根
同理可证明x=-(a+c)是方程x^2+2ax+b^2=0的根
所以结论正确。