电容器和导体杆

Question

如图所示，位于同一水平面内的两根平行导轨之间的距离为L，导轨左端连接一个耐压足够大的电容器，电容器的电容为C，放在导轨上质量为m的导体杆MN与导轨接触良好，MN杆在平行于导轨的水平恒力F作用下从静止开始加速运动，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。导轨足够长，不计一切电阻和摩擦，求从导体杆开始运动经过时间t电容器吸收的电能E?

Answer 1

解析：据题意，导体杆MN加速切割磁感线，产生的感应电动势且不断增大，电容器两极板间电压随着增大，储存的电能增加，同时由于电容器处于连续充电状态中，电路中有持续的充电电流，故导体杆受到向左的安培力。因电容器在时间t内吸收的电能可以用克服安培力做的功来量度，所以弄清楚充电电流及安培力的变化规律，就成为解答本题的关键。 设某时刻导体杆切割磁感线的速度为v，产生的感应电动势为E，电容器所带的电荷量为q，两极板间的电压为u，则有：u=E=BLv q=Cu=CBLv。设经过一个很短的时间间隔Δt，速度的变化量为Δv，则电容器带电量的变化量为：Δq=CBLΔv。 在时间Δt内充电电流的平均值可表示为： i= =CBLa 式中a表示Δt内导体杆运动的平均加速度。若把Δt取得足够小，那么i和a就分别趋近于该时刻的充电电流的瞬时值及加速度的瞬时值。于是，杆MN所受安培力的瞬时值可表示为：F 安 =BiL=CB 2 L 2 a 。 上式表明：安培力的瞬时值与加速度成正比。 将安培力瞬时值表达式代入牛顿第二定律，F-CB 2 L 2 a =ma。由此解得a= 。 由上式不难看出：加速度a是恒定的，杆MN做匀加速直线运动，进而推知：充电电流是恒定电流，安培力是恒力。 因时间t内，杆MN的位移为： s= at 2 = 故杆MN克服安培力做的功可表示为： W=F 安 ·s= 电容器在时间t内吸收的电能E=W，可用上式表示。