已知正的常数p,q满足不等式1/p+1/q=1，证明：对任意的y>x>0，

Question

已知正的常数p,q满足不等式1/p+1/q=1，证明：对任意的y>x>0，有(x/p+y/q)ln(x/p+y/q)<(1/p)xlnx+(y/p)ylny
写错了，等式

Answer 1

构造下凸函数f(t)＝tlnt, 利用Jensen不等式。

首先明白1/p+1/q＝1时，

则“x/p+y/q”是x、y的平均

∴f(t)＝t·lnt→f'(t)＝lnt+1

f"(t)＝1/t,当t>0时,f"(t)>0

故f(t)为下凸函数

故依Jensen不等式得

∴(x/p)lnx+(y/q)lny

≥(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)].

当y>x>0时，上式不能取等，

是严格不等式，

∴(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)]

<(x/p)lnx+(y/q)lny.

原不等式得证。

简介

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。

Answer 2

构造下凸函数f(t)＝tlnt, 利用Jensen不等式。

首先明白1/p+1/q＝1时，
则“x/p+y/q”是x、y的平均.
∴f(t)＝t·lnt→f'(t)＝lnt+1
f"(t)＝1/t,当t>0时,f"(t)>0.
故f(t)为下凸函数,
故依Jensen不等式得
∴(x/p)lnx+(y/q)lny
≥(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)].
当y>x>0时，上式不能取等，
是严格不等式，
∴(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)]
<(x/p)lnx+(y/q)lny.
原不等式得证。

Answer 3

已知正的常数p,q满足不等式1/p+1/q=1...是不等式？追问

写错了，等式