第1个回答 2020-02-13
(1)∵n=1时,a1+S1=a1+a1=2,∴a1=1.
∵Sn=2-an,即an+Sn=2,∴an+1+Sn+1=2.
两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0.
即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an,
∵an≠0,∴
an+1
an
=
1
2
(n≥2),
∴an=(
1
2
)n-1.…(2分)
∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…),∴bn+1-bn=(
1
2
)n-1.
得b2-b1=1,b3-b2=
1
2
,b4-b3=(
1
2
)2,…,bn-bn-1=(
1
2
)n-2(n=2,3,…).
将这n-1个等式相加,得
bn-b1=1+
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-2
=
1?(
1
2
)n?1
1?
1
2
=2-(
1
2
)n-2.
又∵b1=1,∴bn=3-(
1
2
)n-2(n=1,2,3…).…(4分)
(2)证明:∵cn=n(3-bn)=2n(
1
2
)n-1.
∴Tn=2[(
1
2
)0+2×(
1
2
)+3×(
1
2
)2+…+n×(
1
2
)n?1],①
1
2
Tn=2[(
1
2
)+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+n×(
1
2
)