一个函数连续说明了什么？

Question

如题所述

Answer 1

说明当两个自变量距离很近的时候，函数值也很接近。这样，在一点连续的情况下，这一点的状况可以近似的反应这一点周边的状况。这是连续的本质。
常言说的以点带面为什么有时可以，有时出现很大的偏差，因为反应这个事物状态的函数有连续和不连续之分。
一个数学专业工作者的回答。追问

那跟极限有什么联系呢？可不可以通俗点，谢谢

追答

当极限值等于这点的函数值的时候，就在这点连续。连续就是不断的意思。

追问

那求极限就是求导吗？

追答

求极限不一定是求导。导数是特殊的极限，是函数在一点附近平均变化率的极限。

追问

如果求了极限再对其求导结果是什么？

追答

极限的结果是个数量。求导是对函数进行的运算。如果你 将极限定义成一个新的函数的话，它的导数为0.

追问

为什么连续，可导，就可微啊？

追答

连续不一定可导，例如y=|x|,在x=0连续，但在该点不可导。
可导与可微等价。这个要从定义出发证明。

追问

哦~~我这一地方老是想不明白所以问题比较多，谢谢你啊！

Answer 2

首先，有x→a,f′(x)→f′(a).
这样的函数的曲线称为光滑曲线，就是当一个点在曲线上移动时，该点所对应的切线是连续变化的。例如，铁轨就是导数连续的曲线，当你做火车时，假如你的座位是朝向火车前行的方向，你超前看的目光代表你这一点的切线，当火车行走的时候，你的目光的方向变化是连续的。这一点只有铁轨连续是做不到的，必须铁轨函数的导数是连续的。