数学分析 设E属于R^n，证明函数f（x）=inf（y属于E）|x-y|在R^n内一致连续（其中x

Question

数学分析 设E属于R^n，证明函数f（x）=inf（y属于E）|x-y|在R^n内一致连续（其中x、y均为向量）

Answer 1

对任意x，x’属于R^n，若f(x)≥f(x')
f(x)-f(x')=inf|x-y|-inf|x'-y|≤|x-y|-inf|x‘-y|（对任意y，inf|x-y|≤|x-y|）(1)
根据下确界定义，对于任意ε，存在y’属于E使|x’-y‘|-ε/2<inf|x'-y|
所以f(x)-f(x')≤|x-y’|-inf|x‘-y|<|x-y‘|-|x'-y’|+ε/2<|x-x'|+ε/2（第一个不等号由y的任意性，取(1)中，y=y'，最后一个不等号应用三角不等式）
若f(x)≤f(x')
f(x‘)-f(x)=inf|x’-y|-inf|x-y|≤|x-y|-inf|x‘-y|
根据下确界定义，对于任意ε，存在y‘属于E使|x-y‘|-ε/2<inf|x-y|
所以f(x‘)-f(x)≤|x’-y’|-inf|x-y|<|x‘-y‘|-|x-y’|+ε/2<|x-x'|+ε/2
综上|f(x)-f(x')|<|x-x'|+ε/2
故对任意ε>0，存在δ=ε/2，对任意x，x’属于R^n，当|x-x‘|<δ时，

|f(x)-f(x')|<|x-x'|+ε/2=ε，故f(x)在R^n上一致连续