一、算术平均值
设对某量作了n次等精度的独立观测，观测值为l1，l2，l3，…，ln。则其算术平均值为
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我们认为算术平均值是一组同精度观测值的最可靠值。为什么呢？可以用偶然误差的特性加以证明。
设观测量的真值为X，则观测值的真误差为
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（5-8）式内各式两端相加，并除以n，得
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由（5-7）式知x=
，代入上式并移项，得
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当观测次数n无限增加时，根据偶然误差特性，有
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所以
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故当n无限增加时，算术平均值趋近于真值。如n为有限次数
亦为一微小量，算术平均值x仍较各观测值接近于真值。我们将最接近于真值的近似值，称为“最或然值”（或称为“最可靠值”）。
二、观测值改正数
观测量的最或然值与观测值之差，称为“观测值改正数”。当为等精度观测时，算术平均值x与观测值l之差，即为观测值改正数V。有
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将上面各式两端相加，得
［V］=nx-［l］
由（5-7）式知nx=［l］，代入上式，得
［V］=0 （5-10）
（5-10）式说明观测值改正数的一个重要特性，即在等精度观测时，观测值改正数的总和为零，这可作为计算中的一项检核。如果算术平均值的计算存在舍入误差，则改正数的和小于等于±0.5n，即∑V≤0.5n，n为观测值个数。
三、由观测值改正数计算观测值中误差
在实际工作中，观测量的真值X往往是不知道的，在等精度观测中，一般只知道算术平均值x和观测值改正数V，因此不能用（5-4）式计算中误差。在这种情况下，可用V来代替真误差，由下式计算观测值的中误差
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上式的证明如下：
由（5-8）式及（5-9）式，可得
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将上面各式两端平方后相加，得
［ΔΔ］=［VV］+n（X-x）2-2（x-X）［V］ （b）
因［V］=0，（x-X）则为算术平均值的真误差。令δ=（x-X），代入（b）式后
［ΔΔ］=［VV］+nδ2 （c）
两端除以n
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将（a）中各式相加，得
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将式（e）两端平方后
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Δ1Δ2，Δ2Δ3，…为偶然误差的乘积，当观测次数无限增大时，这些乘积亦具有偶然误差特性，因此有
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又由式（5-4a）知
，将此式及（g）式代入（d）得
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整理后，即得
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证毕。
四、算术平均值的中误差
算术平均值x的中误差M，可由下式计算
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或
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证明略。
（5-12）式说明，算术平均值的中误差M，仅为本组任一观测值中误差m的
，即其精度提高了。由此可见，对一个量增加观测次数取其平均值，可以提高精度。但增加次数较多时，不仅工作量大，而且精度的递增亦趋缓慢。例如，n=16时，精度为观测中误差的1/4倍，n=36时，观测次数比n=16时增多了20次，而精度仅比前者提高2倍。因此，当要求精度较高时，在可能的情况下，应考虑选用较精密的仪器和改善观测方法。
【例5-1】有一段距离，在相同的观测条件下用30m钢尺测量4次，其结果如表5-2的第2栏。求该段距离的最或然值及其中误差。
表5-2
解：为了消除系统误差，加入尺长、温度和倾斜的改正数，得到改正后的长度。改正后的长度主要含有偶然误差。由于是等精度观测，其算术平均值作为最或然值，得
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观测值改正数及中误差的计算见表5-2。m=±5.8mm，为任一次观测值的中误差；M=±2.9mm，则为算术平均值的中误差。最后结果为
x=89.574m±2.9mm
相对中误差为
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【例5-2】使用同一经纬仪用测回法观测一水平角，共五个测回，其结果见表5-3。求该水平角的最或然值及其中误差。
表5-3
解：由于是等精度观测，故其算术平均值为最或然值，为了使计算简便，取初始值x0=64°21′00″，则
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观测值改正数和中误差计算见表5-3。一测回观测值的中误差为m=±19.5″，算术平均值的中误差为M=±8.7″。故最后结果为x=64°21′06″±8.7″。由于角度观测误差与角的大小无关，所以不必计算相对中误差。