【求解答案】a=3；f(x)=x³-3/2x²-6x+2；f(x)的极小值等于-8。
【求解思路】
1、根据极值的充分条件可知，当有极值存在，则f'(x0)=0。所以求解 (ax²-3x-6)=0方程，即可得到a值。
2、根据导数的几何意义，可知y(x)的切线的斜率等于 k=f'(x )。由此，通过积分计算得到y(x )。即f(x)=∫f'(x)dx=∫(ax²-3x-6)dx=a/3·x³-3/2x²-6x+C
3、根据“当x=-1时，y=11/2为极大值。”的条件，求得积分常数C值。得到f(x)的表达式。
4、根据极值的充分条件，（1）求f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)；（2）求f'(x)=0时的x极值点；（3）把x值代入f"(x)中，判断其是极小值还是极大值。
【求解过程】 解：
1、求a值
根据条件当x=-1时，y(x)有极值。根据极值的充分条件，有
a×(-1)²-3×(-1)-6=0，a=3
2、求f(x)的表达式
根据导数的几何意义，可知
k=f'(x )=3x²-3x-6
积分上式，有
f(x)=∫f'(x )dx=∫(3x²-3x-6)dx=x³-3/2x²-6x+C
再根据已知条件，当x=-1时，y=11/2。则
(-1)³-3/2·(-1)²-6·(-1)+C=11/2
C=2
所以，原函数f(x)=x³-3/2x²-6x+2
3、求极值
（1）求f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)
f'(x)=(x³-3/2x²-6x+2)'=3x²-3x-6=3(x+1)(x-2)
f"(x)=(x³-3/2x²-6x+2)"=(3x²-3x-6)'=6x-3
（2）求f'(x)=0时的极值点
3(x+1)(x-2)=0，得
x1=-1，y1=11/2
x2=2，y2=-8
（3）判断所求的极值点是极小值还是极大值
当x=-1时，f"(-1)=6·(-1)-3=-9<0，有极大值
当x=2时，f"(2)=6·(2)-3=9>0，有极小值
所以，f(x)的极小值等于-8。
【本题知识点】
1、导数的几何意义。在几何上，函数f(x)的导数 f'(x) 是函数y=f(x)表示的曲线在点x 的切线的斜率，即 k=f ′(x) = tanα
式中，α为曲线在点x的切线与x轴的夹角。
2、极值判断条件。
1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；如果函数f(x)在点(x0)的某一邻域内满足f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。
2、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。
第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。
第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。