极限存在,但是极限为零有什么情况?

Question

如题所述

Answer 1

3 种情况：
1. 分子和分母都趋向于零，但它们的趋向速度不同。例如，当 x 趋向于 0 时，x 的平方和 x 的立方趋向于零的速度不同。
2. 进行等价无穷小替换。
3. 若分子和分母都趋向于零且可导，则可以分别对它们求导。求导后，极限的结果不受影响，这是洛必达法则的应用。
在这种情况下，极限存在且不等于零。如果分母的极限不是零，而是一个不等于零的常数 a，则极限等于分子乘以 1/a。由于 1/a 是有界的，乘以分子后得到的是无穷小。这意味着极限是 0，这与已知的极限不等于零相矛盾。因此，分母的极限也必须是零。
扩展资料：
在分母趋于零的情况下，还能计算极限的原因是要理解“趋于零”并不意味着“等于零”。例如，1/x（当 x 趋于 0）只能说 x 很接近于 0，但 x 不能取 0。因为当 x = 0 时，是没有意义的。
当分子和分母都趋于零时，可以将它们同时乘以一个非零的数。函数肯定是原来的函数（如果此时分子和分母都可导且分母的导数不为零，则极限等于分子和分母导数的商。如果这个内容还未学习，可以跳过）。另外，如果只是分母趋于零，而分子不趋于零，那么极限是无穷大（包括正无穷和负无穷）。在这种情况下，也可以说极限不存在。例如，1/x（当 x 趋于 0），当 x 越小，1/x 显然越大。