已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4.

Question

(1)探究m满足什么条件时二次函数y的图像与x轴的交点的个数 （2）设二次函数y的图像与y轴的交点为A（x1,0）B（x2,0）且x1²+x2²=5，与y轴的交点为C它的顶点为M求直线CM的解析式

Answer 1

二次函数y的图像与x轴的交点满足x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0
则当Δ=b²-4ac
=（2m-1）²-4(m²+3m+4)
=-16m-15
判别式Δ>0时,
x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0有两个实根,
即-16m-15>0
m<15/16
时,
二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4
的图像与x轴的有两个交点
判别式Δ=0时,
x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0有两个相等实根,
即-16m-15=0
m=15/16
时,
二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4
的图像与x轴的有一个交点
判别式Δ<0时,
x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0无实根,
即-16m-15<0
m>15/16
时,
二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4
的图像与x轴的有一个交点
（2）设二次函数y的图像与y轴的交点为A（x1,0）B（x2,0）且x1²+x2²=5，与y轴的交点为C它的顶点为M求直线CM的解析式
二次函数y的图像与y轴的交点为A（x1,0）B（x2,0）应该是是二次函数y的图像与x轴的交点为A（x1,0）B（x2,0）吧
则方程x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0的两个根是x1,x2
∵x1²+x2²=5
∴(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1×x2
（2m-1）²=5+2(m²+3m+4)
4m²-4m+1=2m²+6m+13
2m²-10m-12=0
化简：m²-5m-6=0
(m+1)(m-6)=0
解得m=-1，m=6
m=-1时y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4为y=x²+3x+2
与y周的交点为C（0，2）
顶点为M（-3/2
，-1/4
）
直线CM的解析式为：y=3
x/2+2
m=6时y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4为y=x²-11x+58
与y周的交点为C（0，22）
顶点为M（11/2
，111/4
）
直线CM的解析式为：y=23
x/22+22