江苏省盐城市2008-2009学年度高三年级第二次调研考试
数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
参考公式：
球的体积公式 ( 为球的半径).
柱体的体积公式 (其中 为底面积, 为高).
线性回归方程的系数公式为 .
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．设复数 ,则 = ▲ .
2．已知函数 的定义域为集合 , 为自然数集,则 = ▲ .
3．直线 与直线 平行的充要条件是 ▲ .
4．执行如图所示的伪代码,输出的结果是 ▲ .
5．某几何体的三视图如图所示,主视图与左视图中两矩形的长和宽分别为4与2，俯视图中两同心圆的直径分别为4与2，则该几何体的体积等于 ▲ .
6．双曲线 的顶点到它的渐近线的距离为 ▲ .
7．已知 ，则 = ▲ .
8．已知 之间的一组数据如下表:
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据,现给出如下拟合直线:① 、② 、③ 、④ ,则根据最小二乘思想得拟合程度最好的直线是 ▲ (填序号).
9．数列 满足 , , 是 的前n项和,则 ＝ ▲ .
10．国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某
种钻石的价值V（美元）与其重量 (克拉)
的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量
分别为 的两颗钻石,且价值损失的
百分率= (切割中
重量损耗不计),则价值损失的百分率的最大值
为 ▲ .
11．如图所示的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第 行中第2个数是 ▲ （用n表示）.
12．已知函数 ( 是自然对数的底数),若实数 是方程 的解,且 ,则 ▲ (填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”).
13．已知 是平面上不共线三点，设 为线段 垂直平分线上任意一点，若 ， ，则 的值为 ▲ .
14. 已知关于x的方程 有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分14分)
等可能地取点 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求点 满足 的概率；
（Ⅱ）当 时，求点 满足 的概率．
16．(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱 中, ， 分别是 的中点，且 .
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求证： 平面 .
17．(本小题满分14分)
已知 的三个内角 所对的边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)现给出三个条件：① ；② ；③ .
试从中选择两个条件求 的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分).
18．(本小题满分16分)
已知椭圆 的右焦点为F,右准线为 ，且直线 与 相交于A点.
(Ⅰ)若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
(Ⅱ)当 变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
(Ⅲ)若 时,求椭圆离心率 的范围.
19．(本小题满分16分)
设首项为 的正项数列 的前 项和为 , 为非零常数,已知对任意正整数 , 总成立.
（Ⅰ）求证：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数 成等差数列，试比较 与 的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数 成等比数列，试比较 与 的大小.
20．(本小题满分16分)
已知 ,
且 .
(Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程；
(Ⅱ)当 时,设 所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间
的长度定义为 ),试求 的最大值；
(Ⅲ)是否存在这样的 ，使得当 时, ?若存在,求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
盐城市2008/2009学年度高三年级第二次调研
数学试题参考答案
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4.25 5. 6.
7. 8.③ 9.6 10.50%(填0.5， 都算对)
11. 12.＜ 13.12 14. 或
二、 解答题：本大题共6小题，计90分.
15.解:（Ⅰ）当 时，点P共有28个，而满足 的点P有19个，
从而所求的概
………………………………………………………………………(7分)
（Ⅱ）当 时,由 构成的矩形的面积为 ,而满足
的区域的面积为 ，故所求的概率为 ……………………………………(14分)
16.证:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 .
∵ 分别是 的中点，∴ ‖ 且 = ,∴四边形 是矩形.
∴ 是 的中点………………………………………………………………………………(3分)
又∵ 是 的中点,∴ ‖ ……………………………………………………………(5分)
则由 , ,得 ‖ ………………………………………(7分)
(注:利用面面平行来证明的,类似给分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱 中， ⊥底面 ,∴ ⊥ .
又∵ ,即 ⊥ ,∴ ⊥面 ………………………(9分)
而 面 ,∴ ⊥ ……………………………………………………………(12分)
又 ,∴ 平面 ……………………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)由 ,得
,所以 ………………………………………………(4分)
则 ,所以 ……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)方案一：选择①③.
∵A=30°,a=1,2c-( +1)b=0，所以 ，则根据余弦定理，
得 ，解得b= ,则c= …………………(11分)
∴ …………………………………(14分)
方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分.
(注：选择①②不能确定三角形)
18. 解:（Ⅰ） ,即 ,
,准线 , ……………………………………………………(2分)
设⊙C的方程为 ,将O、F、A三点坐标代入得：
,解得 ………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程为 ……………………………………………………(5分)
（Ⅱ）设点B坐标为 ,则 ,整理得：
对任意实数 都成立……………………………………………(7分)
∴ ,解得 或 ,
故当 变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B ……………………………(10分)
（Ⅲ）由B 、 、 得 ,
∴ ,解得 ……………………………………………(12分)
又 ,∴ ………………………………………………………………(14分)
又椭圆的离心率 （ ）……………………(15分)
∴椭圆的离心率的范围是 ………………………………………………………(16分)
19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数 ， 总成立,
令 ，得 ,则 …………………………………………(1分)
令 ，得 (1) , 从而 (2),
(2)－(1)得 , …………………………………………………………………(3分)
综上得 ,所以数列 是等比数列…………………………………………(4分)
（Ⅱ）正整数 成等差数列，则 ,所以 ,
则 ……………………………………………………(7分)
①当 时， ………………………………………………………………(8分)
②当 时， …………………………(9分)
③当 时， ……………………(10分)
（Ⅲ）正整数 成等比数列，则 ,则 ,
所以 ， ……………(13分)
①当 ,即 时， ……………………………………………(14分)
②当 ,即 时， ………………………………(15分)
③当 ,即 时， ………………………………(16分)
20. 解: (Ⅰ)当 时, .
因为当 时, , ,
且 ,
所以当 时, ,且 ……………………………………(3分)
由于 ,所以 ,又 ,
故所求切线方程为 ,
即 …………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因为 ,所以 ,则
①当 时,因为 , ,
所以由 ,解得 ,
从而当 时, ……………………………………………(6分)
② 当 时,因为 , ,
所以由 ,解得 ,
从而当 时, …………………………………………(7分)
③当 时,因为 ,
从而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
综上得,当且仅当 时, ,
故 …………………………………………(9分)
从而当 时, 取得最大值为 …………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“当 时, ”等价于“ 对 恒成立”,
即“ (*)对 恒成立” ……………………………………(11分)
① 当 时, ,则当 时, ,则(*)可化为
,即 ,而当 时, ,
所以 ,从而 适合题意………………………………………………………………(12分)
② 当 时, .
⑴ 当 时,(*)可化为 ,即 ,而 ,
所以 ,此时要求 …………………………………………………………(13分)
（2）当 时,(*)可化为 ,
所以 ,此时只要求 ………………………………………………………(14分)
(3)当 时,(*)可化为 ,即 ,而 ,
所以 ,此时要求 …………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得 符合题意要求.
综合①②知,满足题意的 存在,且 的取值范围是 ………………………………(16分)
数学附加题部分
21.A.解：因为PA与圆相切于点A,所以 .而M为PA的中点,
所以PM=MA,则 .
又 ,所以 ,所以 ……………………(5分)
在 中,由 ,
即 ,所以 ,
从而 ……………………………………………………………………………(10分)
B．解: ,所以 = ……………………………(5分)
即在矩阵 的变换下有如下过程, ,
则 ,即曲线 在矩阵 的变换下的解析式为 ……(10分)
C．解:由题设知,圆心 ,故所求切线的直角坐标方程
为 ……………………………………………………………………………(6分)
从而所求切线的极坐标方程为 ………………………………(10分)
D．证:因为 ,利用柯西不等式,得 …………………………(8分)
即 ………………………………………………………………………(10分)
22．解: (Ⅰ)以A为原点,AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),
所以 , ……………………………(4分)
故异面直线BE与PC所成角的余弦值为 ……………………………………(5分)
(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延长线)于M,作CN⊥BE交BE(或延长线)于N,
则存在实数m、n,使得 , 即
因为 ,所以 ,
解得 ,所以 …………………………………(8分)
所以 ,即为所求二面角的平面角的余弦值………………(10分)
23．解：(Ⅰ) 当 时, ,所以 的系数为 ,
则由 ,解得 ……………………………………………………………………(4分)
(Ⅱ) ①由 ,求导得
（ ≥ ）.
令 ,得 ,
即 ,同理 ,
∴ ………………………………………………………(7分)
③ 将 ,两边在[0，2]上积分,
得 ,
根据微积分基本定理,得 ,
即 ,同理可得 ,
所以 ………………………………(10分)
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