线性代数中||A||怎么算

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，矩阵范数的计算方法涉及向量范数的概念。首先，向量的模||a||定义为a的内积(a,a)的平方根，即||a|| = √(a,a) = √(X1^2 + X2^2 + X3^2)，其中a是向量，各分量的平方和构成内积。向量范数如Frobenius范数或Euclid范数（也称F-范数或E-范数），则是矩阵所有元素平方和的平方根，表示为║A║F = (∑∑ aij^2)^1/2。Frobenius范数虽相容，但在min{m,n}>1时，它不能由所有向量范数诱导，比如||E11+E22||F = 2就不等于1。

矩阵范数与谱半径有密切关系。定理1表明谱半径ρ(A)小于或等于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。通过特征值的性质，我们可以证明这一关系。定理2进一步说明，对于任何方阵A和正数e，存在一种范数，使得矩阵范数小于谱半径与e的和。Gelfand定理则给出了谱半径的极限定义：ρ(A) = lim (║A^k║^{1/k})当k趋于无穷大。

这些性质有实际应用，如推论1指出，若矩阵序列I,A,A^2,...A^k,...收敛于零，那么ρ(A)必须小于1。同样，推论2指出，级数I+A+A^2+...的和等于(I-A)^{-1}的条件是ρ(A)也必须小于1。

以上理论在数学分析和线性代数中起着基础性作用，对于理解和处理矩阵问题至关重要。参考资料可查阅百度百科的矩阵范数相关内容。