柯西—施瓦茨不等式证明

Question

如题所述

Answer 1

在实内积空间中，当我们考察不等式 \langle y,y\rangle \neq 0 时，柯西-施瓦茨不等式显得尤为关键。对于任意实数 \lambda，我们有 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle，进一步化简为 \|x\|^2 - \lambda \langle x,y\rangle - \lambda (\langle x,y\rangle - \lambda \|y\|^2)。选择特别的 \lambda = \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2}，得到 0 \leq \|x\|^2 - \frac{\langle x,y\rangle^2}{\|y\|^2}，从而得出 \big|\langle x,y\rangle\big| \leq \|x\| \|y\|。

在复内积空间中，证明过程类似但稍有不同。对于任意复数 \lambda，有 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle，展开得到 \|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y\rangle} - \overline\lambda (\langle x,y\rangle - \lambda \|y\|^2)。选择 \lambda = \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2}，我们得到 0 \leq \|x\|^2 - \big|\langle x,y\rangle\big|^2 \cdot \|y\|^{-2}，同样得出 \big|\langle x,y\rangle\big| \leq \|x\| \|y\|。这个不等式揭示了复内积空间中向量内积的性质，无论在实数还是复数领域，柯西-施瓦茨不等式都起到了核心作用。