柯西—施瓦茨不等式证明

如题所述

在实内积空间中,当我们考察不等式 \langle y,y\rangle \neq 0 时,柯西-施瓦茨不等式显得尤为关键。对于任意实数 \lambda,我们有 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle,进一步化简为 \|x\|^2 - \lambda \langle x,y\rangle - \lambda (\langle x,y\rangle - \lambda \|y\|^2)。选择特别的 \lambda = \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2},得到 0 \leq \|x\|^2 - \frac{\langle x,y\rangle^2}{\|y\|^2},从而得出 \big|\langle x,y\rangle\big| \leq \|x\| \|y\|。

在复内积空间中,证明过程类似但稍有不同。对于任意复数 \lambda,有 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle,展开得到 \|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y\rangle} - \overline\lambda (\langle x,y\rangle - \lambda \|y\|^2)。选择 \lambda = \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2},我们得到 0 \leq \|x\|^2 - \big|\langle x,y\rangle\big|^2 \cdot \|y\|^{-2},同样得出 \big|\langle x,y\rangle\big| \leq \|x\| \|y\|。这个不等式揭示了复内积空间中向量内积的性质,无论在实数还是复数领域,柯西-施瓦茨不等式都起到了核心作用。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
相似回答
大家正在搜