请问大神能不能举个例子:某极值点左右邻域导数同号的函数。

Question

请问大神能不能举个例子:某极值点左右邻域导数同号的函数。为了验证左右邻域导数反号是极值的充分不必要条件。

Answer 1

那样的函数是不存在的！
原因是：
1）如果是极小值点，在其邻域内二阶导数大于0，
而极值点处一阶导数为0，那么邻域内极值点处
左右一阶导数必变号！
2）对极大值点也是如此；
3）对于：y=x³，x=0 邻域内，一阶导数不变号，
但 x=0, 不是极值点，而是拐点！追问

可是李永乐的书上是这样说的

追答

你提供的图片不能翻转，看起来很费劲。
我认为你对图片内容的理解似有问题，
请你再看看图片的内容：
如果是极大值 ->左邻域导数>0；右邻域
导数左邻域导数0 极值点导数=0;
那么函数的导数在左右邻域内绝不会变号！

追问

我已经看了十几遍了，绝对没错

追答

我很赞赏您的自信。
但我实在写不出您
要求的函数。
不好意思了!
我回答是针对连续、
可微、足够光滑的
函数作出的。可能
有局限性。

Answer 2

对于邻域内连续可导函数来说，左右邻域导数反号是极值的充要条件；

如果你要验证是充分不必要条件，就只有从函数的连续性或者可导性方面来入手。

只能说你一开始的思路就错了，“某极值点左右邻域导数同号的函数”一定是不存在的。追问

考研指导书，李永乐的，上面确实是这样写的。

充分不必要

追答

我没说充分不必要是错的，我是说当导数存在的时候它是充要条件，而导数不一定存在，此时它是充分不必要。所以我才说你想的那个“某极值点左右邻域导数同号的函数”不存在。

Answer 3

首先要知道，极值点不一定连续，也不一定可导。 举个例子，当x=0时，f(x)=1，当x不等于0时，f(x) = 0 这个函数x=0是极值点，但它的左右导数不存在

Answer 4

正确的例子是，给出具备跳跃间断点的函数 。例如当x大于等于0时，函数为X+1。x小于0时，函数为X+2。
则在X=0处取到极小值。
注意这点不连续 自然不可导。但两侧导数都等于1。

Answer 5

例子:y=|x|，x=0处，极小值点，左右导数都等于1。