关于图形镶嵌的研究论文
姓名：徐浩凡 学校：北京市十一学校 班级：初一三班
2007年5月17日星期四
关键词：完全覆盖、平面镶嵌、数学的角度
引言：数学是无处不在的，生活中我们常常会遇到一些有关数学的问题，在用瓷砖铺成的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他的形状行不行？为了解决这些问题，我们得探究一下其中的道理。从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
内容：我们得探究一下图形镶嵌中在日常生活中的道理，研究一下多边形的有关概念，性质。
例如，三角形。三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。通过实验和研究，我们知道，三角形的内角和是180度，外角和是360度。用6个正三角形就可以铺满地面。
再来看正四边形，它可以分成2个三角形，内角和是360度，一个内角的度数是90度，外角和是360度。用4个正四边形就可以铺满地面。
正五边形呢？它可以分成3个三角形，内角和是540度，一个内角的度数是108度，外角和是360度。它不能铺满地面。
六边形，它可以分成4个三角形，内角和是720度，一个内角的度数是120度，外角和是360度。用3个正四边形就可以铺满地面。
七边形，它可以分成5个三角形，内角和是900度，一个内角的度数是900/7度，外角和是360度。它不能铺满地面。
……
由此，我们得出了:n边形，可以分成（n-2）个三角形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷n度，外角和是360度。若（n-2）*180÷n能整除360，那么就能用它来铺满地面，若不能，则不能用其铺满地面。
我们不但可以用一种正多边形铺满地面，我们还可以用两种、三种等更多的图形组合起来铺满地面。
例如：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形、正五边形和正八边形、正三角形和正方形和正六边形……
现实生活中，我们已经看到了用正多边形拼成的各种图案，实际上，有许多图案往往是用不规则的基本图形拼成的。以上，我们采用了生活中的实例，地砖来证明了图形镶嵌的奇妙，下面，我再讲一个版画家对图形镶嵌的兴趣：埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为变形的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由。他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案。他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些 是我所遇到的最丰富的灵感资源，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了. . . ，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。这里还有一些关于埃舍尔德图形镶嵌的图片。
怎么样，这些用镶嵌得来的形状是不是很美啊，让我们更好的学习图形的镶嵌，在数学与艺术中徜徉吧！
论文
所谓图形镶嵌就是用一种或几种同样大小的图形来铺平面，要求图形之间即不要留空隙有不能彼此重叠。在这方面，埃舍尔取得了突出的成就，比如下面几幅图就是他的杰作。
下面我就来介绍图形的镶嵌。
规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方瓦。然而, 埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由。
无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。
图形的镶嵌——平面正多边形镶嵌
如果用不同边数的正多边形镶嵌，同样要满足两点：一是边长相等，二是一个顶点处的内角之和为360°
由哪几种正多边形组合那么如果只用一种正多边形来铺满平面，是不是任何一种正多边形都可以呢？事实不是这样的，比如用正五边形，只能拼成如下的形状
那么到底那些正多边形可以用来铺平面呢？我们可以设这个正多边形的边数是 ，在同一个顶点处共有 个这样的正多边形，由于在同一个顶点处这些正多边形围成一个周角，且每一个正 边形的内角是 ，所以得到：
（ 为正整数， 为不小于3的整数）
∴
∴
∴
∴
∴ ……（*）
∵ 为正整数， 为不小于3的整数 ∴
∴ 使（*）式成立的条件是：
∴
∴只用一种正多边形铺地板，只有等边三角形、正方形和正六边形三种情况，如下图所示：
用正多边形镶嵌的规律
用三个正多边形来排列
最小的边数: 3
排列: (3,7,42) (3,8,24) (3,9,18) (3,10,15) (3,12,12)
最小的边数: 4
排列: (4,5,20) (4,6,12) (4,8,8)
最小的边数: 5
排列: (5,5,10)
最小的边数: 6
排列: (6,6,6)
用四个正多边形来排列
最小边数: 3
3，3，4，12的组合结果导致了两种截然不同的排列
3，3，6，6的组合结果导致了两种截然不同的组合
3，4，4，6的组合结果导致了两种截然不同的组合
排列: (3,3,4,12), (3,4,3,12) --- (3,3,6,6), (3,6,3,6) --- (3,4,4,6), (3,4,6,4)
最小的边数: 4
排列: (4,4,4,4)
用五个正多边形来排列
最小边数: 3
3，3，3，3，6的组合只能产生一种排列
3，3，3，4，4的组合产生两种截然不同的组合
排列: (3,3,3,3,6) --- (3,3,3,4,4), (3,3,4,3,4)
用六个正多边形排列
最小的边数: 3
排列: (3,3,3,3,3,3)
要注意：上面的图显示了围绕一个点填充成一个360°的角，用正多边形来排列的话，有21种排法，但事实上他们只有17种不同的组合。其中有四种组合各自有两种不同的排列。
使用正多边形镶嵌的分类；
镶嵌的分类：
（1） 正多边形的镶嵌
（I） 正则镶嵌
（II） 半正则镶嵌
（III） 非正则镶嵌
（2） 非正多边形的镶嵌
定义：只使用一种正多边形的镶嵌我们叫正则镶嵌（Regular Tessellations ）
有前面的讨论我们知道：正则镶嵌只有3种：即用正三角形、正方形和正六边形来镶嵌。
如下图：
使用一种以上的正多边形来镶嵌，并且在每个顶点处都有相同的正多边形的排列，我们叫半正则镶嵌（Semiregular Tessellations）
如下图：
还有一些镶嵌包含着正则镶嵌，我们称这种镶嵌为：非正则镶嵌（demiregular tessellations），这些镶嵌是正则镶嵌或半正则镶嵌的混合镶嵌
例如：下图中，在点1处是3，6，3，6的排列，而在点2处是3，3，6，6的排列，在这个镶嵌中在每一个顶点处的正多边形排列不完全相同，而是存在着两种排列，因此即不是正则镶嵌也不是半正则镶嵌，我们称之为非正则镶嵌。
在点1处是3，6，3，6的排列，而在点2处是3，3，6，6的排列
同样，我们仍然使用正则镶嵌或半正则镶嵌的排列来表示这种新的非正则镶嵌的类型，我们在每个正则或半正则镶嵌的排列之间使用符号“/”来分隔开，例如，上图的镶嵌记作：3.6.3.6 / 3.3.6.6.
数学家已经定义那些由两个或三个不同的正则镶嵌的排列而构成的镶嵌为非正则镶嵌，至少有14种非正则镶嵌，这是怎么确定的呢？事实上只要我们花一点耐心，使用已知的21种（见前面的介绍）正则或半正则排列来实验，我们就可以得到上述结论。
下面我们来具体看一看这些非正则镶嵌的图案有哪些
由两个或三个不同的正则排列的正多边形镶嵌
下面是使用两种不同的正则排列（9种不同的镶嵌）
3.3.6.6 / 3.6.3.6
3.12.12 / 3.4.3.12
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.12
3.3.3.4.4 / 3.4.6.4
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #1
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #2
注意：尽管上面的两种镶嵌使用的是相同的正则排列，但他们还是从整体构成上有所不同
足球表面由什么图形拼接而成? 足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形构成
因为正五边形一个内角是108度，正六边形内角是120度，共348度，不能作成平面。
不一样，为了衔接成的一个球体
地板的镶嵌
其实，生活中人们更多的是研究有关铺地板砖的问题，我们观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形镶嵌成美丽的图案。我们观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形镶嵌成美丽的图案．
平时在家里、在商店里、在中心广场、进入宾馆、饭店等等许多地方都会看到瓷砖。他们通常都是有不同的形状和颜色。其实，这里面就有数学问题，“瓷砖中的数学”。
在用瓷砖铺成的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他的形状行不行？为了解决这些问题，我们得探究一下其中的道理，研究一下多边形的有关概念，性质。
例如，三角形。三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。通过实验和研究，我们知道，三角形的内角和是180度，外角和是360度。用6个正三角形就可以铺满地面。
再来看正四边形，它可以分成2个三角形，内角和是360度，一个内角的度数是90度，外角和是360度。用4个正四边形就可以铺满地面。
正五边形呢？它可以分成3个三角形，内角和是540度，一个内角的度数是108度，外角和是360度。它不能铺满地面。
六边形，它可以分成4个三角形，内角和是720度，一个内角的度数是120度，外角和是360度。用3个正六边形就可以铺满地面。
七边形，它可以分成5个三角形，内角和是900度，一个内角的度数是900/7度，外角和是360度。它不能铺满地面。
……
由此，我们得出了。n边形，可以分成（n-2）个三角形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷2度，外角和是360度。若（n-2）*180÷2能整除360，那么就能用它来铺满地面，若不能，则不能用其铺满地面。
我们不但可以用一种正多边形铺满地面，我们还可以用两种、三种等更多的图形组合起来铺满地面。
例如：正三角形和正方形、正三角形和六方形、正方形和正八边形、正五边形和正八边形、正三角形和正方形和正六边形……
现实生活中，我们已经看到了用正多边形拼成的各种图案，实际上，有许多图案往往是用不规则的基本图形拼成的。
瓷砖，这样一种平常的东西里都存在了这么有趣的数学奥秘，更何况生活中的其它呢？
生活中，数学无处不在。
一、用一种正多边形铺地板的情况：3种
（3，3，3，3，3，3）拼地板图案
（4，4，4，4）拼地板图案 （6，6，6）拼地板图案
二、用两种正多边形铺地板的情况：6种
（3，12，12）拼地板图案
三、用三种正多边形铺地板的情况：8种
如果用两种不同边数的正多边形镶嵌，同样，必须在重合的顶点处，正多边形的内角之和为360°．为了简化研究，我们来看一看用两个具体的多边形来铺地板的情况。
问题一：现在一位工人师傅手中有正三角形和正方形两种正多边形瓷砖，你能帮助他设计一种地板图案吗？
同学们请你们自己动手用硬纸板剪出边长相等的多个大小相同的的正三角形和正方形，然后试着动手拼一拼，相信你们一定能拼出来。
你们拼出下面的图形来了吗？
问题2
若这位工人师傅手中只有正六边形和正三角形的瓷砖用来拼地板，能否实现？若有，有几种情况；若没有，说明理由
思考，你们能否利用方程计算而不是动手拼图来研究上述问题吗？
事实上，我们可以如下计算
设在一个点处有正三角形x个、有正六边形y个则
60x+120y=360
x+2y=6
有两组整数解
因此应该有三种方案
如图
问题三：若这位工人师傅手中只有用正方形和正六边形能否拼地板！这个问题请读者自己思考
（2）如果用多余两种的正多边形来铺地板，情况如何？
我们来回答以上问题．
假定m种正多边形，边数分别为 ， ， ，……， ，能镶嵌成整个平面，
必须：
∵ ， ， ，……，
∴
∴
所以，
就是说，最多有六个正多边形的组合。
