第三题 柯西古萨定理 怎么用的 看不明白

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。
设 是复平面的一个单连通的开子集。 是一个 上的全纯函数。设是 内的一个分段可求长的简单闭曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么：
单连通条件
是单连通表示 中没有“洞”，例如任何一个开圆盘 都符合条件，这个条件是很重要的，考虑中央有“洞”的圆盘： ，在其中取逆时针方向的单位圆路径：

考虑函数 ，它在 中是全纯函数，但它的路径积分：

不等于零。这是因为函数f在“洞”中有奇点。如果考虑整个圆盘 ，就会发现f在圆盘中央的点上没有定义，不是全纯函数。
等价叙述
柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如： 设 是复平面的一个开子集。 是一个定义在 上的函数。设 与 是 内的两条可求长的简单曲线，它们的起点和终点都重合：