函数的周期性：谁能证明下3，4，5？能证多少是多少，谢谢！

Question

如题所述

Answer 1

(3)
f(x-a)=1-1/f(x)
f(x-2a)=1-1/f(x-a)=1-1/(1-1/f(x))=-1/(f(x)-1)
f(x-3a)=1-1/f(x-2a)=f(x)
所以f(x)的周期T=3a
(4)
那么f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x)) (-a<x<3a)
f(x+a+a)=(f(x+a)+1)/(1-f(x+a))=-1/f(x) (-2a<x<2a)
f(x+a+a+a+a)=-1/(-1/f(x))=f(x) (-4a<x<0) ①
即有f(x+4a)=f(x)对于所有-4a<x<0都成立
做推广可以得到f(x+4a)=f(x)对于所有x都成立
高中题目，可以忽略对推广的证明，从①可以直接得出f(x)的周期T=4a的结论，但是其实那个推广要证明也是要费一番手脚的，有兴趣可以自己试试。
(5)
f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)
f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)f(x+5a)
以上两式相减，得f(x)-f(x+5a)=[f(x)-f(x+5a)]f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)
因此f(x)-f(x+5a)=0 ①或者f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1②
由f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1②可推出f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)=1
继续两式相减则有[f(x)-f(x+4a)]f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)=0
因此f(x)-f(x+4a)=0③或者f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)=0④
如果f(x)可以等于0，存在一个没有周期的函数或者周期是任意值的f(x)满足题目中的等式（通过④可以构造），因此题目首先应当说明f(x)≠0，但就算是这样，f(x)的周期也存在是4a的可能(由③可得)，因此非零函数f(x)的周期有可能是5a，也有可能是4a。 说到底，如果只是为了做题，你算出①的时候这道题就算是做完了，但是如果你稍微喜欢数学的话，就该把后面这些都搞明白。

Answer 2

楼主给我几分钟 我把详细过程给你写出来追问

好

追答

追问

这个是否要加一个f(x)不等于1的条件？

追答

题目上没说啊 不用管 写上也无所谓

追问

好的！第4点会吗？

层主，第五点网上有证明，发个图给你看。但是有一点我不是很明白，就是最后的部分周期为4a而不是5a

追答

别急 我把4写给你 草稿有点乱 待我整理下

他的证明没问题啊 你哪里看不懂

追问

我算出来是4a答案5a

追答

我也不清楚

Answer 3

看不清追答

再发一张