高中数学（急急急急急，马上就要）

Question

1.设f(x)=ax^2+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c,使得不等式：
x^2+1/2<=f(x)<=2x^2+2X+3/2对一切实数x都成立，证明
2.设f(x)=x^2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}
(1)求证：A为B的子集
(2)如果A=｛-1，3｝求B

Answer 1

1.解：假设存在这样的a b c
由f(1)=7/2得，a+b+c=7/2,a=7/2-b-c
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)对一切实数X都成立，有（7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,b=2,c=-1/2,a=2
此时，x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2并非对一切x都成立。
(2)7/2-b-c-2<0,且△=（b-2)^2-4(3/2-b-c)(c-3/2)≤0
b+c>1.5①,b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤（7/2-b-c）x^2+bx+c对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0 ,△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c<2.5③,b^2+4bc+4c^2-2b-12c+5 ≤0④
显然b=c=1,此时a=3/2就满足上述各式。

2.(1) A是B的子集，如果任何A中的元素也必在B中。
设a在A中，那么f(a)=a--->f[f(a)]=f(a)=a,因此a也在B中。
所以A是B的子集。

(2) 如果A={-1，3}， 那么从f(x)=x, x^2+px+q=x, x^2+(p-1)x+q=0知道，-1，3为方程x^2+(p-1)x+q=0的两根，因此 -(p-1)=-1+3,即 p=-1, q=(-1)(3)=-3
现在f(x)=x^2-x-3,因此f(f(x))-x=0--->(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3-x=0--->(x^2-x-3)^2-x^2=0--->(x^2-2x-3)(x^2-3)=0
所以x=-1,3,√3,-√3.
B={-1，3,√3,-√3}

Answer 2

假设存在这样的a b c
由f(1)=7/2得，a+b+c=7/2,a=7/2-b-c
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)对一切实数X都成立，有（7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,b=2,c=-1/2,a=2
此时，x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2并非对一切x都成立。
(2)7/2-b-c-2<0,且△=（b-2)^2-4(3/2-b-c)(c-3/2)≤0
b+c>1.5①,b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤（7/2-b-c）x^2+bx+c对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0 ,△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c<2.5③,b^2+4bc+4c^2-2b-12c+5 ≤0④
显然b=c=1,此时a=3/2就满足上述各式。
http://hi.baidu.com/honggenihao1013/blog/item/109f93010c8668051d9583fc.html

(1) A是B的子集，如果任何A中的元素也必在B中。
设a在A中，那么f(a)=a--->f[f(a)]=f(a)=a,因此a也在B中。
所以A是B的子集。

(2) 如果A={-1，3}， 那么从f(x)=x, x^2+px+q=x, x^2+(p-1)x+q=0知道，-1，3为方程x^2+(p-1)x+q=0的两根，因此 -(p-1)=-1+3,即 p=-1, q=(-1)(3)=-3
现在f(x)=x^2-x-3,因此f(f(x))-x=0--->(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3-x=0--->(x^2-x-3)^2-x^2=0--->(x^2-2x-3)(x^2-3)=0
所以x=-1,3,√3,-√3.
B={-1，3,√3,-√3}
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Answer 3

1.解：假设存在这样的a b c
由f(1)=7/2得，a+b+c=7/2,a=7/2-b-c
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)对一切实数X都成立，有（7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,b=2,c=-1/2,a=2
此时，x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2并非对一切x都成立。
(2)7/2-b-c-2<0,且△=（b-2)^2-4(3/2-b-c)(c-3/2)≤0
b+c>1.5①,b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)即x^2+(1/2)≤（7/2-b-c）x^2+bx+c对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0 ,△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c<2.5③,b^2+4bc+4c^2-2b-12c+5 ≤0④
所以a=3/2 b=1 c=1

2.(1) A是B的子集，如果任何A中的元素也必在B中。
设a在A中，那么f(a)=a--->f[f(a)]=f(a)=a,因此a也在B中。
所以A是B的子集。

(2) 如果A={-1，3}， 那么从f(x)=x, x^2+px+q=x, x^2+(p-1)x+q=0知道，-1，3为方程x^2+(p-1)x+q=0的两根，因此 -(p-1)=-1+3,即 p=-1, q=(-1)(3)=-3
现在f(x)=x^2-x-3,因此f(f(x))-x=0--->(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3-x=0--->(x^2-x-3)^2-x^2=0--->(x^2-2x-3)(x^2-3)=0
所以x=-1,3,√3,-√3.
B={-1，3,√3,-√3}