1.将周期函数分解成正弦或余弦函数之和
一个以T为周期的周期函数，
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如果在周期［-T/2，T/2］内满足狄里赫利条件(Dirichlet)条件:①连续或只有有限个第一类间断点;②具有有限个极值点，则f(t)就可以在［-T/2，T/2］上展成三角级数(傅立叶级数)
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其中 称为基频，nω0称为n次谐频(n=1，2，3…)，且
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为直流分量，而
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an和bn分别为余弦和正弦分量的振幅。式(3-1-2)称为f(t)的傅立叶级数展开式，式(3-1-2)的右端称为f(t)的傅氏级数。但在工程中使用更方便的是复数形式的傅氏级数。同时式(3-1-2)还表明，任何复杂信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解成许多不同振幅、不同频率的正弦信号和余弦信号及直流分量(图3-1-1)。
显然直流分量和余弦分量为偶分量;正弦分量为奇分量。正弦分量和余弦分量又为交流分量。可以证明:如果给出的波形是t的奇函数，它展成正弦分量;如果给出的波形是偶函数，则展成直流分量和余弦分量。于是可以使问题简化如下:
当f(t)是t的奇函数，即f(t)=-f(-t)，则
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图3-1-1 周期信号分解为余弦信号
则f( t) 展开成正弦函数。
当f(t)是t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则bn=0
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f(t)展开成余弦函数。
根据函数的奇、偶性可以简化运算。除将函数展开成正、余弦函数外，有些函数在可能的情况下还可用幂级数展开。
2.周期函数的离散谱
在傅立叶级数(3-1-2)中，
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利用正、余弦函数互为余角的关系，可以将其单独表示成cosnω0t或sinnω0t的级数，即
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或
其中
|dn|称为振幅谱，φn称为相位谱。由于它们都是以基频ω0为间隔的离散值，所以称为离散谱或线谱。利用以上关系式可以很容易求出一个信号的振幅谱和相位谱。图3-1-2为锯齿波x(t)=t(-π≤t≤π)的振幅谱和相位谱，它们均是离散的。
图3-1-2 锯齿波的振幅谱和相位谱
3.离散谱的复数表示法
在复数的运算中，殴拉公式
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起着重要作用，如果将上式中的φ取为-φ，则有
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上两式相加或相减就得
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代入傅立叶级数表达式(3-1-2)得
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令
于是得到傅立叶级数的复数形式:
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我们知道，对于n次谐波，它的频率是nf0。在实际工作中，频率都是正的，但是在(3-1-12)中，n可以取负整数，nf0就变成了“负频率”。从实数形式的傅氏级数(3-1-2)过渡到复数形式的傅氏级数(3-1-12)，关键在于用复数表示正弦与余弦函数，因此“负频率”完全是由复数表示引起的。但是傅氏级数的复数形式应用起来方便，并有很明确的物理意义。
在(3-1-12)式中，我们称cn为傅氏级数的系数，系数cn完全由f(t)来确定。
由于
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同理
合并上两式得
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我们把以上结果总结如下:有限区间［-T/2，T/2］上的函数f(t)，在一定条件下，可以展成傅氏级数:
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说明一个复杂波f(t)可分解成许多个谐波的叠加，关键在于了解其中每一个谐波的成分。对于频率为nf0的n次谐波dncos(2πnf0t+φn)而言，它的成分由振幅dn和相位φn确定，而由cn就可以确定dn和φn。
由于
所以
从(3-1-14)式可以看出，在复数形式的傅立叶级数中，相应于负频率-nf0的谐波的系数c-n，也能反映频率为nf0的谐波的振幅dn和相位φn。
由于cn可以表示n次谐波的振幅与相位，我们称cn为有限区间［-T/2，T/2］上信号f(t)的离散频谱;称cn为有限区间［-T/2，T/2］上信号f(t)的离散振幅谱;称argcn为信号f(t)的离散相位谱。
由f(t)求出傅立叶级数的系数cn就称为在有限区间对f(t)进行频谱分析。用复数表示法可以更方便地对信号进行频谱分析，求出信号的振幅谱和相位谱，在某些情况下还可以简化运算。
对某函数进行频谱分析，只要求出它的傅立叶级数系数cn。例如，当f(t)是实函数，则|cn|=|c-n|，即实信号的振幅谱是偶对称的;而φn=-φ-n即相位谱是奇对称的。图3-1-3和图3-1-4是周期T=2π的方波的振幅谱和相位谱。
显然在实时间函数中，由于|cn|总是偶对称的，φn总是奇对称的，因此对实时间函数讨论负频率没有多大意义。但若时间函数是复值，负频率与正频率不对称，这时负频率将有其特定的意义。
由以上讨论可知，任何周期函数，在一个周期内均可以展成傅立叶级数。把复杂波分解为许多谐波(正弦波)的叠加就是傅氏分析;如果把一个复杂波分解为许多方波的叠加，我们把它称为沃希函数分析。而傅氏分析则是现代数字信号数据处理的基础和最重要的基本分析方法。
图3-1-3 方波的振幅谱
图3-1-4 方波的相位谱