估计准则

Question

如题所述

Answer 1

一般来说，根据观测数据对一个量（参数）或者同时对几个量（参数）进行推断，是估计问题。例如，通信工程中的信号参数和波形，包括振幅、频率、相位、时延和瞬时波形；地球物理中的异常发现、估计等。这里，无论对何种量估计，都必须根据观测值进行估计，而观测存在观测误差（或者把观测误差看成噪声），虽然被估计的参数是确定量，观测数据却是随机的，由观测值推算出的估计量存在随机估计误差。因此如何判定估计方法的好坏，是统计估计的基本问题。

假定对随机变量x观测了N次，得到N个观测值：x₀，x₁，x₂，…，x_N-1，希望通过这N个观测值估计参数a，称a为真值，它的估计值用

表示。

是观测值的函数，假定该函数关系用f［·］表示，即

地球物理信息处理基础

估计误差用e_a表示，

，这里

和a都是随机变量。作为随机变量，它存在一定的统计分布规律。设

的概率密度曲线如图1-3所示，图中a是要估计的参数，如果估计值

接近a的概率很大，则说这是一种比较好的估计方法，图中P₁（

）比P₂（

）要好。一般来说，一个好的估计值，其概率密度曲线必须窄，且比较集中在其估计量的真值附近。

图1-3 估计量的概率密度曲线

通常，评价估计性能好坏的标准有以下三种。

1.3.1.1 偏移性

令估计量的统计平均值与真值之间的差值为偏移B，即

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如果B=0，称为无偏估计。无偏估计表示估计量仅在它的真值附近摆动，这是我们希望的估计特性。如果B≠0，则称为有偏估计。如果随着观察次数N的加大，能够满足

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则称为渐近无偏估计，这种情况在实际中是经常有的。

1.3.1.2 估计量的方差

如果两个估计量的观察次数相同，又都是无偏估计，哪一个估计量在真值附近的摆动更小一些，即估计量的方差更小一些，就说这一个估计量的估计更有效。

如果

和

都是a的两个无偏估计值，对任意N，它们的方差满足

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式中，

，

则称

比

更有效。一般希望当N→∞时，

。

1.3.1.3 一致性——均方误差

在许多情况下，比较两个有偏估计值是较麻烦的。偏移较小的估计值，可能有较大的方差，而方差较小的估计值可能有较大的偏移，此时使用与估计值有关的均方误差会更方便。估计量的均方误差表示为

地球物理信息处理基础

如果估计量的均方差随着观察次数的增加趋于0，即估计量随N的加大，在均方意义上趋于它的真值，则称该估计是一致估计。估计量的均方误差与估计量的方差和偏移的关系推导如下

地球物理信息处理基础

该式表明，随N的加大，偏移和估计量方差都趋于零，是一致估计的充分必要条件。通常对于一种估计方法的选定，往往不能使上述的三种性能评价一致，此时只能对它们折中考虑，尽量满足无偏性和一致性。下面讨论均值、方差、自相关函数的估计方法，均假设随机序列平稳且具有各态历经性，集合平均可以用长时间的时间平均代替。