1)AD=(5^2+2.5^2)^0.5=5*5^0.5/2
设FB=x
AB=5*2^0.5
AF=5*2^0.5-x
sin(FDB)=sin(ADC+45)=(sinADC+cosADC)*2^0.5/2
sinADC=5/(5*5^0.5/2)=2*5^0.5/5
cosADC=2.55/(5*5^0.5/2)=5^0.5/5
所以sin(FDB)=sin(ADC+45)=(sinADC+cosADC)*2^0.5/2
=3*10^0.5/10
在三角形ADF中,由正玄定理
AF:sin45=AD:sinAFD……1式
sinAFD=sinBFD
在三角形BDF中,由正玄定理
BF:sinBDF=BD:sinBFD……2式
1式除以2式得到
5^0.5=3*(5*2^0.5-x)/(5^0.5*x)
解出x=15*2^0.5/8
2)
与第一问同样的思路
设BF=M
EC=X
sinFDB=sin(EDC+45)=2^0.5/2*(sinEDC+cosEDC)
=2^0.5/2*(x+2.5)/(2.5^2+x^2)^0.5……3式
sinADF=sin[(EDC+45)-ADC]
=sin(EDC+45)*cosADC-cos(EDC+45)*sin(ADC)
=2^0.5/2*(sinEDC+cosEDC)*5^0.5/5-2^0.5/2*(cosEDC-sinEDC)*2*5^0.5/5
=2^0.5/2*[(x+2.5)/(2.5^2+x^2)^0.5]*5^0.5/5-2^0.5/2*[(2.5-x)/(2.5^2+x^2)^0.5]*2*5^0.5/5
=10^0.5/10*(3x-2.5)/(2.5^2+x^2)^0.5……4式
在三角形ADF中,由正玄定理
AF:sinADF=AD:sinAFD……5式
sinAFD=sinBFD
在三角形BDF中,由正玄定理
BF:sinBDF=BD:sinBFD……6式
5式除以6式得到
AD:BD=(5*2^0.5-M)/M*sinFDB/sinBFD
化简得到
M=5*2^0.5*(x+2.5)/(4x)
所要求面积S=1/2*BF*2.5*sin45
=12.5/8*(1+2.5/x)
而x的取值范围最大为5,最小值由如图求出
sinEDC=sin(ADC-45)
=2^0.5/2*(sinADC-cosADC)
=10^0.5/10
cscEDC=10^0.5
ctgEDC=(cscEDC^2-1)^0.5=3
所以EC=2.5/ctgEDC
=2.5/3
X的范围是[2.5/3,5]
3)三角形FBD为等腰三角形时,F点为AB的中点。
此时EC=5/2,点E也是AC的中点