内接圆的具有最大面积的n 变形必定是正N变形

Question

内接圆的具有最大面积的n 变形必定是正N变形

Answer 1

一种直观但不太严格的证法是调整法.
首先容易证明: 在△ABC的外接圆上, 设M为弧AC(在B的同侧)的中点,
则S△AMC ≥ S△ABC, 且等号成立当且仅当B与M重合, 即AB = BC.
于是, 若一个内接于圆的n边形不等边, 考虑其不相等的一对邻边AB, BC.
若取B'为弧AC的中点, 则S△AB'C > S△ABC, 将n边形的顶点B换为B', 可知面积将增大.
这样就证明了: 若圆内接n边形不等边, 则不能取得面积最大值.

不过严格来说离证明正n边形面积最大还差一点, 因为并未证明面积最大值是存在的.
可以用较为细致的逐次调整来严格化, 要略微麻烦点.

还有一种证法是用Jensen不等式.
首先可以只考虑圆心在n边形内部的情形.
因为n = 3时, 圆内接钝角三角形的钝角边 ≤ 2R, 钝角边上的高 ≤ R.
故面积 ≤ R² < 3√3/4·R² = 圆内接正三角形面积.
n ≥ 4时, 圆内接正n边形的面积 > 圆面积的一半 = 半圆面积 > 不包含圆心的n边形面积.

设n边形各边所对的圆心角为x1, x2,..., xn.
有x1+x2+...+xn = 2π, 0 < xi < π (圆心在n边形内部).
而由圆心与各边构成的等腰三角形面积为1/2·R²sin(x1), 1/2·R²sin(x2),..., 1/2·R²sin(xn).
n边形面积为1/2·R²·(sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn)).
由sin(x)在(0,π)上的凸性, 根据Jensen不等式,
sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn) ≤ n·sin((x1+x2+...+xn)/n) = n·sin(2π/n).
等号成立当且仅当x1 = x2 = ... = xn = 2π/n.
即在正n边形时取得面积最大值.

Answer 2

是的，古时候的圆周率就是根据切割正多边形算出来的，变数越多，正多边形越接近于一个圆。
望及时采纳谢谢！