柯西不等式 等号成立条件？并证明

Question

（a方+b方）（c方+d方）≥（ac+bd）方等号成立条件：ac=bd或a\c=b\d证明一下等号成立条件

Answer 1

要证明得打开括号变成
左边=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2
右边=(ac)^2+2abcd+(bd)^2
左边减右边得到
(ad)^2+2abcd+(bc)^2=(ad-bc)^2
所以等号成立条件为 ad-bc=0
即 ad=bc
变形 a/c=b/d

Answer 2

解：
(a^2+b^2)(c^2+d^2)　 (a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。此时ad-bc=0