a(n+1)=√(an²+1)+an
a(n+1)-an=√(an²+1)
(a(n+1)-an)²=an²+1
a(n+1)²-2ana(n+1)-1=0①
a(n-1)²-2ana(n-1)-1=0②
由①②得a(n+1)、a(n-1)为方程x²-2anx-1=0的根。
根据
韦达定理有a(n+1)+a(n-1)=2an,显然,an等差。(也可用①-②得出)
a1=a,a2=√(a²+1)+a,故d=a2-a1=√(a²+1)。
从而an=a1+(n-1)d=√(a²+1)n+a-√(a²+1)。
综上,数列an的
通项公式为an=√(a²+1)n+a-√(a²+1).