定积分求导，这是为什么？

Question

如题所述

Answer 1

设： F'(t) = f(t) (1)
代入: 左边积分 = ∫(x,0)f(t)dt=∫(x,0)F'(t)dt
= F(x) - F(0) (2)
再设：P'(t) = t f(t) (3)
右边的积分 = ∫(x,0)(x-t) f(t)dt=∫(x,0) xf(t)dt - ∫(x,0) t f(t) dt
= x[F(x)-F(0)]-P(x)+P(0)
右边积分对x求导数：
d[∫(x,0)tf(t)dt]/dx = F(x)-F(0)+xF'(x)-P'(x)
= F(x)-F(0)+xf(x)-xf(x)
= F(x)-F(0) (4)
可见：右边积分对x的导数恰好等于左边的积分，
从而证明了原题等式的成立：
∫(x,0)f(t)dt = d[ ∫(x,0) t f(t) dt ]/dx (5)

Answer 2

Answer 3

复合函导数要特殊求追问

我知道有这个公式

但是求出来不对，请证明，回答太笼统。

追答

你可以举个复合函数例子

追问

谢谢！

追答

好了没

追问

没有

追答

貌似你的公式错了吧

追问

那应该是怎样？

追答

等我会

看清楚？？？

追问

嗯，能看到，我先看看哈。

追答

比如，，y=e^2x,,,令u=2x,,y'=(e^u)'u'=2e^2x

追问

这个我知道啊，复合函数求导

追答

你是想问为神马

追问

积分后求导，不是复合函数求导

你把积分看成了复合函数？那如果有些积分积不出来而要积分求导才能出来呢

追答

你确定？？积分不是求“”面积“”么，，，积分求导，，来个题看看！！

追问

==

追答

找到题目？？

追问

积分是求面积，但是在计算有些题时，需要把它配成求导的样子，用原函数来解题

追答

奥，，，刚没看懂。。。这等于多乘(x-t),,求导出来是乘上1，，，，，，的确是为某些题设计的

追问

嗯，是滴，现在呢，能不能麻烦证明下

追答

复合函数呀！！！！！

定积分形式，，复合求导原理

追问

有点笨，刚才那个公式可以求不吗？

第二张图片

Answer 4

　 　(d/dx)∫[0, x](x-t)f(t)dt
　　= (d/dx)[x∫[0, x]f(t)dt - ∫[0, x]tf(t)dt]
　　= ∫[0, x]f(t)dt + xf(x) - xf(x)
　　= ∫[0, x]f(t)dt。

学数学的关键在于 “做”，就是亲自动手，结果就在你面前出现了。