如果f(x)在x0处是连续的，则必存在x0的一个邻域，在这个邻域中f(x)是连续的。这个结论正确吗？怎么证明？

Question

如果f(x)在x0处是连续的，则必存在x0的一个邻域，在这个邻域中f(x)是连续的。这个结论正确吗？怎么证明？

Answer 1

这个结论是错误的.
考虑函数f(x) = x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数, 即当x为有理数时D(x) = 1, x为无理数时D(x) = 0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.

由|f(x)| = |x|·D(x) ≤ |x|, 可知lim{x → 0} f(x) = 0 = f(0), 即f(x)在x0 = 0处连续.
但对任意x0 ≠ 0, f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续 (x0 ≠ 0), 可得D(x) = 1/x·f(x)也在x0处连续, 矛盾.