什么是分数阶微积分？

Question

如题所述

Answer 1

分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。
例如：
对x^n求1/2阶导数：
首先
对x^n求1阶导数后为nx^(n-1)
2阶导数后为n(n-1)x^(n-2)
...
那么m<n时
m阶导数后为n(n-1)(n-2)..(n-m+1)x^(n-m)
也就是n!/(n-m)! x^(n-m)
由于阶乘的概念可以扩展：
n!=Γ(n+1)
故对x^n求m阶导数后为Γ(n+1)/Γ(n-m+1)x^(n-m)
令m=1/2
则得
d(1/2)x^n/dx^(1/2)=Γ(n+1)/Γ(n+1/2)x^(n-1/2)=n!(n-1)!2^(2n-1)x^(n-1/2)/(2n-1)!π^(1/2)
特别x的1/2导数为2(x/π)^(1/2)
对于其他函数……由于任何连续f(x)都可以展开Taylor级数……因此，任何连续函数都存在1/2阶导数
例如sin x的1/2阶导数为sin(π/4+x)