二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)还有如下三种形式表示:
1、顶 点 式:y=a(x-h)2+k,(h,k)为顶点坐标。
2、交 点 式:当△=b2-4ac≥0时,设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,则二次函数的解析式可写为y=a(x-x1)(x-x2),点(x1,0),(x2,0) 是二次函数的图象与x 轴的交点。
3、广义交点式:二次函数的图象具有轴对称性,由此我们可知:二次函数图象上两点(x1,y1)、(x2,y2), 若y1=y2=t,则对称轴为:x= ,此时, 解析式可写为:y=a(x-x1)(x-x2)+t,这是交点式的推广。
在用待定系数法求二次函数的解析式时,运用上面的知识,恰当选择设立解析式,可以开发解题智慧,节省解题力量,提高解题的速度和准确性,达到事半功倍的效果,现举例如下:
例1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标是 - 、,与y轴的交点的纵坐标是-5,求抛物线的解析式。(人教版《代数》第三册P143第8题②小题)。
解法一:由题意可设解析式为交点式:y=a(x+ )(x- ),又因抛物线过点(0,-5),代入上式,立即可求得a= , 故得解。
说明:此法只有一个待定系数a,比设一般式简单。
解法二:由题意知:ax2+bx+c=0的两根为- 、,由一元二次方程根与系数的关系得:
- ① - ②
又由抛物线过点(0,-5) 得c= -5 ③
联立①、②、③可迅速求得a、b、c 从而得 解。
说明:此法把二次函数与一元二次方程联系起来了,关于待定系数a、b、c的三个方程① ② ③解起来也很简单。
例2:一条抛物线y=ax2+bx+c,经过点(0,0),(0,12),最高点的纵坐标是3。求抛物线的解析式。(人教版初中《代数》第三册P145第7题)
解法一:由题意知:抛物线经过x轴上两点(0,0),(12,0),故可设抛物线的解析式为交点式y=a(x-0)(x-12),即y=ax(x-12)=ax2-12ax,(a≠0)
“最高点的纵坐标是3”——抛物线的顶点的纵坐标为3。
因此, ,问题得解。
解法二:由于抛物线上两点(0,0 )(12,0)的纵坐标相同,由此可知抛物线的对称轴为: ,即x=6,因此结合题意可知抛物线的顶点为(6,3),故可设抛物线的解析式为顶点式:y=a(x-6)2+3,取点(0,0)或(12,0)代入这个解析式,立即可得 ,问题得解。
例3:已知抛物线经过点(-1,2),(2,2),(1,-2)三点,求抛物线的解析式。
分析,由于点(-1,2)(2,2)的纵坐标相同,因此,可设抛物线的解析式是为广义交点式:y=a(x+1)(x-2)+2,代入点(1,-2),可求得a=2,问题得解。
总之,求二次函数的解析式,必须透彻理解二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的图象的对称性等必备知识,充分利用题设条件,合理恰当地选择设立二次函数的解析式的形式,减少待定系数的个数,达到迅速,准确地解决问题的目的,实现数学素养的提高。
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