解:(1)D点与O点重合,设OF=m,OE=n,则:EF²=OF²+OE²=m²+n²。
因为E、F分别为AD(AO)、OC(DC)中点,所以:AD=2n,OC=2m,因此:BD²=AD²+OC²=(2m)²+(2n)²=4(m²+n²)。
所以:BD²=4EF²,BD=2EF。
(2)看下图:
矩形各点的坐标为:A(0,5)、B(8,5)、C(8,0)、O(0,0)。
设D(m,0),则:E(m/2,5/2)、F(8/2,0)。即:E(m/2,2.5)、F(4,0)。
直线EF的斜率为:k1=(2.5-0)/(m/2-4)=5/(m-8)。直线方程为:y-0=[5/(m-8)]×(x-4),化简为:y=5(x-4)/(m-8)。.............①
直线BD的斜率为:k2=(0-5)/(m-8)=-5/(m-8)。直线方程为:y-5= [-5/(m-8)]×(x-8),化简为:y=5-[-5/(m-8)]×(x-8)。...............②
联立求解方程组① ②,得到:x=0.5m+2,y=2.5(m-4)/(m-8)=2.5-10/(m-8),这就是G点的坐标。
所以:
BD=EG,BD²=EG²,4+100/(m-8)²=(m-8)²+25。
设:(m-8)²=N,则得到方程:N²+21N-100=0。N1=-25,N2=4。
因为N=(m-8)²>=0,所以舍去N1=-25,得到:N=4,即(m-8)²=4。
解方程得到:m1=10和m2=6。
因为m为D点横坐标,显然m<8(D为OC间的一点),所以:m=6。
因此,D点的坐标为D(6,0)。
(3)看下图:
∠EBG=∠G,因此EG=BE(等腰三角形)。
同样设D(m,0),EG斜率为:k1=5/(m-8),BD斜率为k2=-5/(m-8)。
所以:tan∠G=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=|10(m-8)/[(m-8)²-25]|=|10(m-8)/(m²-16m+39)|。
直线BE的斜率为:k3=(5-2.5)/(8-0.5m)=5/(16-m)。
tan∠EBG=|(k2-k3)/(1+k2k3)|=|40/[(m-8)(m-16)+25]=|40/(m²-24m+153)|。
因此有:1、10(m-8)/[(m-8)²-25]= 40/[(m-8)(m-16)+25]。
或者:2、10(m-8)/[(m-8)²-25]= -40/[(m-8)(m-16)+25]。
由此得到的是一元三次方程,还没有求出能够化简的初等解答方法,容后期考虑。