E,F分别是OA,OC的中点，
所以AC=2EF,
所以BD=BO=2EF.
(2)①因B(8,5),故A(0,5),C(8,0),OC的中点F(4,0),
设D(d,0),则AD的中点E(d/2,5/2).
设EF的表达式为y=k(x-4),
把E的坐标代入得5/2=k(d/2-4),k=5/(d-8),
所以EF:y=5(x-4)/(d-8),①
同理，BD:y=5(x-d)/(8-d).②
联立①②，解得xG=(d+4)/2,yG=5(d-4)/[2(d-8)].
由EG=BD得4+{5/2-5(d-4)/[2(d-8)]}^2=(8-d)^2+25,
(25/4)*16/(d-8)^2=(d-8)^2+21,
化简得(d-8)^4+21(d-8)^2-100=0,
(d-8)^2=4,或-25（舍），
所以d-8=土2，
d=10或6，
看图②，D(6,0).
②若∠EBG=∠G,则BE=EG,仿上，
(8-d/2)^2+25/4=4+{5/2-5(d-4)/[2(d-8)]}^2,
(16-d)^2/4+9/4=100/(d-8)^2,
73+16(8-d)+(8-d)^2=400/(8-d)^2,
(8-d)^4+16(8-d)^3+73(8-d)^2-400=0,超出中学数学范围。
以下解答仅供参考：
8-d≈1.92833，d≈6.07167，
xG≈5.03584，yG≈-2.68583，
GD≈2.87865，GE≈3.11570，
GD*GE≈8.97187。
解：（1）D点与O点重合，设OF=m，OE=n，则：EF²=OF²+OE²=m²+n²。
因为E、F分别为AD（AO）、OC（DC）中点，所以：AD=2n，OC=2m，因此：BD²=AD²+OC²=（2m）²+（2n）²=4（m²+n²）。
所以：BD²=4EF²，BD=2EF。
（2）看下图：
矩形各点的坐标为：A（0，5）、B（8，5）、C（8，0）、O（0，0）。
设D（m，0），则：E（m/2，5/2）、F（8/2，0）。即：E（m/2，2.5）、F（4，0）。
直线EF的斜率为：k1=（2.5-0）/（m/2-4）=5/（m-8）。直线方程为：y-0=[5/（m-8）]×（x-4），化简为：y=5（x-4）/（m-8）。.............①
直线BD的斜率为：k2=（0-5）/（m-8）=-5/（m-8）。直线方程为：y-5= [-5/（m-8）]×（x-8），化简为：y=5-[-5/（m-8）]×（x-8）。...............②
联立求解方程组① ②，得到：x=0.5m+2，y=2.5（m-4）/（m-8）=2.5-10/（m-8），这就是G点的坐标。
所以：
BD=EG，BD²=EG²，4+100/（m-8）²=（m-8）²+25。
设：（m-8）²=N，则得到方程：N²+21N-100=0。N1=-25，N2=4。
因为N=（m-8）²>=0，所以舍去N1=-25，得到：N=4，即（m-8）²=4。
解方程得到：m1=10和m2=6。
因为m为D点横坐标，显然m<8（D为OC间的一点），所以：m=6。
因此，D点的坐标为D（6，0）。
（3）看下图：
∠EBG=∠G，因此EG=BE（等腰三角形）。
同样设D（m，0），EG斜率为：k1=5/（m-8），BD斜率为k2=-5/（m-8）。
所以：tan∠G=|（k1-k2）/（1+k1k2）|=|10（m-8）/[（m-8）²-25]|=|10（m-8）/（m²-16m+39）|。
直线BE的斜率为：k3=（5-2.5）/（8-0.5m）=5/（16-m）。
tan∠EBG=|（k2-k3）/（1+k2k3）|=|40/[（m-8）（m-16）+25]=|40/（m²-24m+153）|。
因此有：1、10（m-8）/[（m-8）²-25]= 40/[（m-8）（m-16）+25]。
或者：2、10（m-8）/[（m-8）²-25]= -40/[（m-8）（m-16）+25]。
由此得到的是一元三次方程，还没有求出能够化简的初等解答方法，容后期考虑。