如何推导一维晶格热振动中的色散关系？

Question

如题所述

Answer 1

推导晶格热振动中一维单原子链的色散关系如下：

首先，我们建立一个简单的一维单原子链模型。在这个模型中，晶格由一系列相同的原子组成，相邻原子之间的平衡距离为a。每个原子质量为m，围绕其平衡位置作微振动。我们利用简谐近似和最近邻近似来推导运动方程。

在简谐近似下，我们认为原子之间的相互作用力与它们之间的距离成反比。因此，每个原子受到的恢复力可以表示为F = -kx，其中k为弹性系数，x为原子偏离平衡位置的位移。根据牛顿第二定律，我们可以得到运动方程：m * a = -k * x。

为了求解这个运动方程，我们需要将其变换到频域。将x替换为eiωt，其中ωt为振动频率，我们可以得到：m * ω² * eiωt = -k * eiωt。接下来，我们将这个方程两边同时除以m，得到:ω² = -k / m。根据晶格振动的特点，我们知道振动频率与波矢k之间的关系为：ω = sqrt(k / m)这就是一维单原子链的色散关系。

我们可以进一步解释这个色散关系。在晶体中，原子之间的相互作用力随着距离的增大而减小。当波矢增大时，振动模式涉及到更多的原子，从而使振动能量增加。这导致振动频率随着波矢的增大而增大。

此外，这个色散关系还表明，在一维单原子链中，振动频率与原子质量m和弹性系数k有关。当原子质量增大时，振动频率降低；当弹性系数增大时，振动频率增大。

总之，在一维单原子链的晶格热振动中，色散关系为ω = sqrt(k / m)。其中k为弹性系数，m为原子质量。这个关系表明，振动频率与波矢成正比，且随着波矢的增大，振动频率也相应地增大。这个关系揭示了振动频率与波矢、原子质量和弹性系数之间的密切联系，为我们理解晶格振动的本质提供了理论依据。