如何计算样本的均值和比例的抽样分布？

Question

如题所述

Answer 1

(一)样本均值的抽样分布
1．样本均值抽样分布的形成
样本均值的抽样分布即所有样本均值的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级参加英语四级考试的人数为6000人，为了研究这6000人的平均考分，欲从中随机抽取500人组成样本进行观察。若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的平均考分，将会得出很多不完全相同的样本均值，全部可能的样本均值有一个相应的概率分布，即为样本均值的抽样分布。
我们知道，从总体的N个单位中抽取一个容量为n的随机样本，在重复抽样条件下，共有 个可能的样本；在不重复抽样条件下，共有 个可能的样本。因此，样本均值是一个随机变量。
2．样本均值抽样分布的特征
从抽样分布的角度看，我们所关心的分布的特征主要是数学期望和方差。这两个特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。样本均值的方差则与抽样方法有关。在重复抽样条件下，样本均值的方差为总体方差的1/n，即：
公式一：
在不重复抽样条件下，样本均值的方差为：
公式二：
从公式一和公式二可以看出两者仅相差系数 ，该系数通常被称为有限总体修正系数。在实际应用中，这一系数常常被忽略不计，主要是因为：对于无限总体进行不重复抽样时，由于N未知，此时样本均值的标准差仍可按公式一计算，即可按重复抽样处理；对于有限总体，当N很大而抽样比例n/N很小时，其修正系数 ，通常在样本容量n小于总体容量N的5%时，有限总体修正系数就可以忽略不计。因此，公式一是计算样本均值方差的常用公式。
3．样本均值抽样分布的形式
样本均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样本容量n的大小有关。如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。如果原有总体的分布是非正态分布，就要看样本容量的大小。随着样本容量n的增大(通常要求n≥30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，即统计上著名的中心极限定理。虽然总体成绩的分布形态未知，但σ已知，且n=150为大样本，依据中心极限定理可知：样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
(二)样本比例的抽样分布
样本比例即指样本中具有某种特征的单位所占的比例。样本比例的抽样分布就是所有样本比例的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级学生参加英语四级考试的人数有6000人，为了估计这6000人中男生所占的比例，从中抽取500人组成样本进行观察，若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的男生比例，则全部可能的样本比例的概率分布，即为样本比例的抽样分布。可见，样本比例也是一个随机变量。