第1个回答 2023-06-29
要证明函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数,我们可以采用反证法。
假设存在一个正周期 T,使得对于所有 x,f(x) = f(x + T)。
考虑函数 f(x) = xcos(x) 的性质,我们可以看到它的图像是一个周期性变化的图案,振幅逐渐增大或减小。而余弦函数本身的周期是 2π,也就是说,当 x 变化一个周期的时候,cos(x) 的值又回到了起始点。
但是,如果 f(x) = xcos(x) 是一个周期函数,那么对于任意的 T,当 x 变化一个周期时,x 的变化量等于 T,而又根据余弦函数的周期性,cos(x) 的变化量也应等于 2π 或者 0。
然而,这里出现了矛盾,因为 x 变化一个周期后,cos(x) 的变化量和 x 的变化量不相等,它们之间的比例并非常数,所以 f(x) = xcos(x) 不满足周期函数的定义。
因此,我们可以得出结论,函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数。
第2个回答 2023-06-29
要证明函数f(x) = xcos(x)不是周期函数,我们需要证明不存在一个正数T,使得对于所有的x,有f(x+T) = f(x)成立。
我们可以采取反证法来证明。假设存在一个正数T,使得对于所有的x,有f(x+T) = f(x)成立。
那么,对于任意的x,我们有:
f(x+T) = f(x)
将f(x) = xcos(x)代入上式,得到:
(x+T)cos(x+T) = xcos(x)
展开并化简上述等式:
xcos(x) + Tcos(x) + Tcos(T)sin(x) - Tsin(T)cos(x) = xcos(x)
消去相同项,并移项,得到:
Tcos(x) + Tcos(T)sin(x) - Tsin(T)cos(x) = 0
整理后可得:
T(cos(x) - sin(x)sin(T)) = 0
对于任意的x,我们需要有上式成立。由于cos(x) - sin(x)sin(T)无法为0,所以T必须为0。
但是,题设中明确要求T是一个正数,与T为0矛盾。
因此,我们可以得出结论:函数f(x) = xcos(x)不是周期函数。
第3个回答 2023-06-30
要证明 f(x)=x cos x 不是周期函数,需要证明对任意的正实数 T ,都存在一个 x 满足 f(x+T)≠ f(x) 。
假设存在某个正实数 T 使得对任意的 x 都有 f (x+T)=f(x) ,那么我们可以得到如下等式:
(x+T)cos(x+T)=x cos x
展开等式得到:
x cos x+T cos x + T cos (x+T)= - T cos T
记 f 1(x)=x cos x , f 2(x) =T cos x + T cos(x+T) , c = -T cos T ,那么上述等式可以重新表达为:
f 1(x) + f 2(x)=c
我们已知 f 1(x)=x cos x 是连续函数且关于 x 单调递增或递减,而 f 2(x) 是一个周期为 2π 的函数。所以在一个周期 2π 内, f 1(x) 和 f 2(x) 的和是一个连续函数。而 c 是一个常数,所以 f(x) 也是一个连续函数。
然而,我们可以通过反证法证明 f(x) 不是连续的。假设 f(x) 是连续的,那么对于任意的 x ,存在一个足够小的正实数 ϵ 使得当 |h|< ϵ 时, |f(x+h)-f(x)|< ϵ 。但我们可以选择一个适当的 T ,使得 f 2(x) 在周期 2π 内的取值使得 f 2(x) > ϵ 。那么对于这个 T ,存在一个足够小的正实数 h 使得 |h|< ϵ ,而 f 2(x+h) > ϵ 。这与我们假设的 f(x) 是连续的矛盾,所以假设不成立,即 f(x) 不是连续函数。
由此可知,不存在正实数 T 使得对任意的 x 都有 f(x+T)=f(x) ,即 f(x)=x cos x 不是周期函数。