如何证明f(x)=xcosx不是周期函数？

Question

不用：非周×周 为 非周

Answer 1

要证明函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数，我们可以采用反证法。
假设 f(x) 是一个周期函数，并且存在一个正周期 T > 0，使得对于任意的 x，f(x) = f(x+T)。
首先，考虑函数 f(x) 在一个周期内的行为。选择任意的 x0，其中 0 ≤ x0 ≤ T，并计算 f(x0) = x0cos(x0)。
然后，我们计算 f(x0 + T) = (x0 + T)cos(x0 + T)。
根据周期性的假设，f(x0) = f(x0 + T)，因此有 x0cos(x0) = (x0 + T)cos(x0 + T)。
我们可以重新排列这个等式来得到：
Tcos(x0 + T) = -x0cos(x0)
我们注意到，T 是一个正常数，而 cos(x0) 和 cos(x0 + T) 是余弦函数的值，它们在区间 (0, T) 上是连续的，并且余弦函数在此区间上不为零。
因此，如果 -x0 不等于 0，我们可以将上述等式两边除以 -x0cos(x0)，得到：
T / -x0 = cos(x0 + T) / cos(x0)
然而，右边的等式是一个恒定的比值，而左边的等式中 T 和 x0 都是变量。这意味着这个等式对于任意的 x0 都不是恒定的，因此不能成立。
因此，我们的假设不成立，函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数。

Answer 2

要证明函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数，我们可以采用反证法。
假设存在一个正周期 T，使得对于所有 x，f(x) = f(x + T)。
考虑函数 f(x) = xcos(x) 的性质，我们可以看到它的图像是一个周期性变化的图案，振幅逐渐增大或减小。而余弦函数本身的周期是 2π，也就是说，当 x 变化一个周期的时候，cos(x) 的值又回到了起始点。
但是，如果 f(x) = xcos(x) 是一个周期函数，那么对于任意的 T，当 x 变化一个周期时，x 的变化量等于 T，而又根据余弦函数的周期性，cos(x) 的变化量也应等于 2π 或者 0。
然而，这里出现了矛盾，因为 x 变化一个周期后，cos(x) 的变化量和 x 的变化量不相等，它们之间的比例并非常数，所以 f(x) = xcos(x) 不满足周期函数的定义。
因此，我们可以得出结论，函数 f(x) = xcos(x) 不是周期函数。

Answer 3

要证明函数f(x) = xcos(x)不是周期函数，我们需要证明不存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立。
我们可以采取反证法来证明。假设存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立。
那么，对于任意的x，我们有：
f(x+T) = f(x)
将f(x) = xcos(x)代入上式，得到：
(x+T)cos(x+T) = xcos(x)
展开并化简上述等式：
xcos(x) + Tcos(x) + Tcos(T)sin(x) - Tsin(T)cos(x) = xcos(x)
消去相同项，并移项，得到：
Tcos(x) + Tcos(T)sin(x) - Tsin(T)cos(x) = 0
整理后可得：
T(cos(x) - sin(x)sin(T)) = 0
对于任意的x，我们需要有上式成立。由于cos(x) - sin(x)sin(T)无法为0，所以T必须为0。
但是，题设中明确要求T是一个正数，与T为0矛盾。
因此，我们可以得出结论：函数f(x) = xcos(x)不是周期函数。

Answer 4

要证明 f(x)=x cos x 不是周期函数，需要证明对任意的正实数 T ，都存在一个 x 满足 f(x+T)≠ f(x) 。

假设存在某个正实数 T 使得对任意的 x 都有 f (x+T)=f(x) ，那么我们可以得到如下等式：

(x+T)cos(x+T)=x cos x

展开等式得到：

x cos x+T cos x + T cos (x+T)= - T cos T

记 f 1(x)=x cos x ， f 2(x) =T cos x + T cos(x+T) ， c = -T cos T ，那么上述等式可以重新表达为：

f 1(x) + f 2(x)=c

我们已知 f 1(x)=x cos x 是连续函数且关于 x 单调递增或递减，而 f 2(x) 是一个周期为 2π 的函数。所以在一个周期 2π 内， f 1(x) 和 f 2(x) 的和是一个连续函数。而 c 是一个常数，所以 f(x) 也是一个连续函数。

然而，我们可以通过反证法证明 f(x) 不是连续的。假设 f(x) 是连续的，那么对于任意的 x ，存在一个足够小的正实数 ϵ 使得当 |h|< ϵ 时， |f(x+h)-f(x)|< ϵ 。但我们可以选择一个适当的 T ，使得 f 2(x) 在周期 2π 内的取值使得 f 2(x) > ϵ 。那么对于这个 T ，存在一个足够小的正实数 h 使得 |h|< ϵ ，而 f 2(x+h) > ϵ 。这与我们假设的 f(x) 是连续的矛盾，所以假设不成立，即 f(x) 不是连续函数。

由此可知，不存在正实数 T 使得对任意的 x 都有 f(x+T)=f(x) ，即 f(x)=x cos x 不是周期函数。