求不定积分∫x/√(1+x²)dx？

Question

如题所述

Answer 1

凑微分法。

原积分

=(1/2)*∫d(1+x^2)/根号(1+x^2)

=根号(1+x^2)+c

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

哪里不懂可以追问

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Answer 3

凑微分法
原积分
=(1/2)*∫d(1+x^2)/根(1+x^2)
=根(1+x^2)+c
(c为任意常数)
望采纳

Answer 4

显然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]
=1 -1- x= -x
于是得到∫x/[1+√(1+x)]dx
=∫ -1+ √(1+x) dx
代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)
原积分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +C，C为常数

Answer 5

∫x²√(1+x²)dx
令x=tanθ，
原式=∫tan²θsecθdtanθ
=∫tan²θsec³θdθ
=∫(sec²θ-1)sec³θdθ
=∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ
=∫sec³θdtanθ
=sec³θtanθ-∫tanθdsec³θ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ*tan²θdθ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ(sec²θ-1)dθ
=sec³θtanθ-3∫sec^5θ+3∫sec³θdθ
∫sec^5θ=sec³θtanθ/4+3/4∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ
∫sec³θdθ
=∫secθdtanθ
=secθtanθ-∫tanθdsecθ
=secθtanθ-∫tan²θsecθdθ
=secθtanθ-∫(sec²θ-1)secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+∫secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+ln|secθ+tanθ|
∫sec³θdθ=(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/2
sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/8
secθ=√(1+x²) tanθ=x
原式=(x+x³)√(1+x²)/4-(x√(1+x²)+ln|√(1+x²)+x|)/8